endomorphisme adjoint, autoadjoint et forme linéaire/bilinéaire

[fabio123]

Je revisite mes vieux cours d'algèbre et tente de comprendre les subtilités sur les endomorphismes adjoints et autoadjoints. Si on prend un espace de Hilbert H avec un produit scalaire <.|.> et si je prends l'application linéaire a: H->H, alors l'opérateur adjoint vérifie, pour tout vecteur x,y :



Je voulais savoir si, dans le terme de gauche, je pouvais considérer le produit scalaire (usuel ?) comme une forme linéaire (égale à la transposée de la matrice associée à l'endomorphisme "a") agissant sur le vecteur "x".

J'aimerais faire le rapprochement entre cette égalité et la définition d'une forme bilinéaire "phi" agissant sur 2 vecteurs X et Y, soit :



avec M la matrice associée à la forme bilinéaire et la transposée du vecteur colonne X, c'est donc un vecteur ligne.

Alors, on peut dire que le produit représente une forme linéaire agissant sur le vecteur Y (avec le théorème de Riesz).

Qu'en-est il de l'expression : ? peut-on considérer comme étant sous la forme d'un vecteur ligne, c'est-à-dire comme une forme linéaire (et qui agirait sur le vecteur colonne "y") ?

Corrigez-moi si je me trompe mais le produit de 2 vecteurs sous la forme covecteur(ligne) / vecteur(colonne) permet de reproduire le produit scalaire classique où les composantes de chaque vecteur X et Y sont multipliées 2 à 2.

De plus, comment la définition de l'opérateur adjoint se traduit-elle d'un point de vue matriciel (je veux dire s'il y a un moyen de bien visualiser ce qu'il se passe avec cette propriété "opérateur adjoint") ? Pour les endomorphisme autoadjoints, la matrice associée vérifie bien :



est-ce que je peux considérer l'expression avec le vecteur ligne , transposé du vecteur colonne ?

j'ai vu que les matrices associées à des endomorphismes autoadjoints étaient nécessairement symétriques, qu'en-est-il pour les endomorphismes seulement adjoints ?

Si quelqu'un pouvait me donner des exemples concrets d'opérateurs adjoints.

Toute aide est la bienvenue
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[gg0]

Bonjour

Si <.;.> est un produit scalaire sur E, et y un élément de E, alors par définition du produit scalaire x--><x,y> et x--><y,x) sont des formes linéaires sur E. Attention, cette forme linéaire est à chaque fois dans L(E), pas dans E, donc ce n'est pas y (je te dis cela vu que tu fais cette confusion dans la suite de ta question). Je te laisse examiner l'application y-->( x--><x,y> ), voir s'il s'agit d'un isomorphisme (séparer le cas dimension finie du cas dimension infinie).
Tout ça est du cours de base d'algèbre linéaire (cours à bien connaître quand on veut parler d'espaces de Hilbert et d'ajonction.

Cordialement.

[fabio123]

Bonjour gg0,

merci pour tes remarques. Ma difficulté est que je me mélange les pinceaux entre produit scalaire (noté Phi=(.|.) ) et crochet de dualité (noté <.,.>). D'après ce que j'ai vu :

1. 1) Le produit scalaire est une application bilinéaire qui prends comme arguments 2 vecteurs d'un même espace E : pour une base B de E, j'ai l'expression (avec les vecteurs X et Y appartenant à E) :
   
   
   
   avec la matrice M exprimant les coefficients (ici le produit scalaire est le produit scalaire canonique)
   
2. 2) Le crochet de dualité exprime de manière explicite le produit scalaire canonique entre une forme linéaire appartenant à E* et un vecteur de l'espace E : si A appartient à E* et X appartient à E, on a l'action de la forme linéaire sur le vecteur X qui vaut :

Corrigez moi si je me trompe

Maintenant, par rapport à ma question de départ sur l'interprétation des opérateurs adjoints, si je pars du produit scalaire (avec les vecteurs X et Y exprimés dans une base orthonormée) :

avec la matrice identité.

On en déduit donc que

Mais d'après mes informations, dans le cas de matrice à coefficients complexes, la matrice de l'opérateur adjoint est la transposée conjuguée de la matrice de l'opérateur .

Je retrouve donc bien la transposition mais comment faire apparaître la conjugaison dans le cas de coefficients complexes ? si possible avec ma façon de faire ci-dessus ?

Merci par avance

[fabio123]

Sûrement je dois utiliser le produit scalaire suivant avec des vecteurs à coefficients complexes :

où représente la conjugaison.

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Bonjour.

Si tu es dans un espace muni d'un produit scalaire, tu peux oublier le crochet de dualité; d'ailleurs le produit scalaire est souvent noté <.;.>, comme je l'ai fait. Évite cependant de parler de "canonique" si tu n'as pas dans ton espace vectoriel une base canonique. Car quel que soit la base (e_i)_i=1..n de E, on obtient un produit scalaire en posant <e_i,e_i>=1 et pour i différent de j, <e_i,e_j>=0. Il y a une infinité de produits scalaires possibles.
Pour le reste, je ne suis pas un spécialiste d'algèbre, mais on trouve ça dans plein de bouquins d'algèbre linéaire, et un bon cours vaut mieux que 10 explications dépareillées. Donc je réitère ma suggestion de travailler un cours sérieux.
Si tu ne peux avoir un bon bouquin, tu peux aller sur ce cours, parties algèbre linéaire et algèbre multilinéaire (même si le reste peut être éclairant).

Cordialement.