suite d'integrale

[genasol]

Bonjour, je vous poste mon exercice pour avoir un peu d'aide, j'arrrive à la question 3.b) puis je bloque:

on pose Io= integrale de 0 a pi/4 de dx et pour n>0, In= integrale de 0 à pi/4 de dx/cos^n(x)

1. Justifier que la suite (In) est bien définie
2) a calculer I0 et I2
b) En posant u=sin(x), calculer I1
3.a) déterminer le sens de variation de la suite (In)
b) Pour n>0, déterminer le signe de In

4) a) Montrer que quelque soit n £N ,

I(n+2)= (racine(2^n)/n+1) + (n/(n+1))In

5) déterminer lim(+inf) In

merci d'avance de votre aide
-----

[ansset]

bjr, peux tu déjà dire ce que tu as fait.?
afin de mieux comprendre pourquoi tu bloques.
notamment la3a)

[genasol]

j'ai fais les questions jusqu'à la 3.b)

et pour cette question, je me dis que la fonction cos (x) sur l'intervalle de de l'integrale est positive du coup In est positif. Mais je trouve sa trop basique pour que sa soit sa??

[genasol]

a la 3) a j'ai étudié le signe de In - In+1 j'ai trouvé un résultat forcément négatif sur l'intervalle d'intégration, j'en ai déduis que la suite est croissante.

[A voir en vidéo sur Futura]

[God's Breath]

Bonjour,

Les questions ne demandent pas d'arguments sophistiqués, et ta solution est tout à fait correcte.

En 2a, tu as trouvé I₀ positive, et en 3a, tu trouves la suite croissante, ce qui confirme ta preuve de la positivité de la suite en 3b.

[genasol]

Merci...

du coup pour la 4.a) j'ai commencé par exprimé I (n+2) à partir de In
j'ai remplacé cos ⁿ⁺² (x) par cos ⁿ.cos² puis 1/cos² (x) par 1+tan²(x)
puis j'ai fait une IPP mais sa ne m'a rien donné de ressemblant à ce que je devais trouver...

[God's Breath]

C'est un peu plus fin. Il faut calculer de façon à faire apparaître , ce qui permet d'intégrer par parties.

[ansset]

oui, mais je ne trouve pas le résultat de l'énoncé.
avec une IPP séparant le sin²(x) en sin(x)*sin(x)

le facteur rac(2n) du résultat de l'exercice est pour moi (rac(2))^n

[God's Breath]

I(n+2)= (racine(2^n)/n+1) + (n/(n+1))In

Exact, il y a une erreur dans la manipulation des parenthèses.

[genasol]

Je trouve I(n+2)- In= intégrale (sin(X) /1-sin^2(X)) × sin(X)/cos^n(X)

Je n'arrive pas a identifier mes u'(X) et v(X) pour l'iPP

Merci.

[genasol]

Et dans mon résultat je m'excuse c'est bien le 2 dans la racine qui est en exposant. A moins que mon prof c'est trompé.

[ansset]

sous l'intégrale on a au départ
soit
et après mise au même dénominateur

on prend ici
et

le second terme de l'IPP ( l'intégrale de u'v ) fait réapparaitre In/(n+1)

[ansset]

désolé pour ce latex un peu pourri mais il me crée des soucis en ce moment.

[ansset]

en un poil mieux, sous l'intégrale de I(n+2)-I(n)
soit
et après mise au même dénominateur

on prend ici
et

[genasol]

Donc V(X) = -1/cos^(n+1)

Ne vous en faite pas pour le latex je ne sais moi mm pas l'utiliser et vous m'aider suffisamment pour que je m'attarde sur sa

[genasol]

Euh non plutôt -1/(n+1)cos^(n+1)

[God's Breath]

Au signe près, on y est presque…

[genasol]

Merci vous m'avez beaucoup aidé. je suis parvenue à finir la démonstration.

pour la limite je calcule la limite de ce qui se trouve sous l'integrale?

[gg0]

Quelle est la question ? Les questions précédentes peuvent-elles aider ?

Cordialement.

[genasol]

la limite de In quand x tend vers + l'infini.

La question précédente utilise l'expression de I(n+2) qui fait intervenir In donc je ne pense pas qu'on puisse l'utiliser.

Alors je me demandais si la limite de la fonction est égale à la limite de l'intégrale de la fonction?

[ansset]

La question précédente utilise l'expression de I(n+2) qui fait intervenir In donc je ne pense pas qu'on puisse l'utiliser.

Alors je me demandais si la limite de la fonction est égale à la limite de l'intégrale de la fonction?

non, l'intégrale de ta fonction n'apportera pas de réponse.
en revanche , comme la fct est stric croissante limI(n)=limI(n+2)

une autre manière de voir les choses est de dire qu'une suite croissante n'a une limite finie uniquement si elle peut être bornée ( majorée.ici )

[genasol]

merci beaucoup à tous et à toute.

[ansset]

Ta conclusion , qu'elle est elle ?

[gg0]

Génassol,

à retenir : La limite quand n tend vers l'infini de

n'a aucune raison d'être l'intégrale de la limite des , même si elle existe (dans ton cas, elle n'existe pas).
Par exemple, avec a=0 et b=1 (comme dans ton exercice), et définie par
si
si
si
les intégrales valent 1, leur limite aussi, la limite des fonctions est 0 d'intégrale 0.

Cordialement.