espaces courbes: comment ils 'montrent' leur courbure à Euclide?

[Bounoume]

pardon, c'est peut-être une question vicieuse venue d'un béotien;
je ne connais, et encore qu'un peu, la géométrie euclidienne avec ses axiomes classiques.
Dedans je peux m"amuser à construire des référenciels tordus, avec des axes x,y,z, qui son des courbes, sur des sphères ou même des patates.... même si je n'essaierai jamais d'y construire et étudier des simples points ou autres choses plus compliquées :

Mais je suppose que les non euclidiens n' ont cure de les construire leur espace par cette démarche.

Je voudrais savoir comment, à partir de axiomes et théorèmes propres à leur géommétrie, les mathématiciens démontrent que telle géométrie est courbe, sphérique ou autre?
Sans la construire à partir d'Euclide?
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[invite9dc7b526]

Je ne suis pas sûr que ta question ait un sens. Notamment que signifie pour toi le fait qu'une géométrie est courbe?

[Deedee81]

Salut,

Amha on devrait déplacer en mathématiques du supérieur.

Il y a plusieurs manière de classer les géométries. Une simple est de considérer les variantes du postulat des parallèles, d'Euclide.
Et on parle de géométrie sphérique car c'est la géométrie de la surface de la sphère et hyperbolique celle d'une surface hyperbolique.
Mais il y en a bien d'autres (riemannienne = généralisation des précédentes et d'autres encore)

Notons que dans un espace euclidien, on peut avoir des référentiels et coordonnées aussi tordus qu'on veut, c'est toujours euclidien (c'est une propriété géométrique, donc indépendante de tout choix de systèmes de coordonnées).

Attention aussi aux notions de courbure extrinsèque et intrinsèque (par exemple le cylinde a une courbure extrinsèque mais la géométrie à sa surface est la même que celle du plan : pas de courbure intrinsèque).

[Bounoume]

Je ne suis pas sûr que ta question ait un sens. Notamment que signifie pour toi le fait qu'une géométrie est courbe?

justement, c'est ma question: qu'est-ce qui fait dire, à partir des axiomes -et des théorèmes déduits-,
qu' "une" géométrie est courbe?

Alors qu'après, quand on m'explique que cette géométrie 'est' la surface d'un cylindre, d'une sphère etc, je me LA représente dans notre espace euclidien intuitif, et même ça me donne une idée de ses propriétés.

[A voir en vidéo sur Futura]

[AncMath]

Une "géométrie" c'est flou comme terme, ou plutôt le terme a 10 000 acceptions et aucune qui ne saisisse totalement la notion.
Mais disons que dans le contexte où tu semble te placer, une "géométrie" a une courbure que l'on peut calculer. Si elle est non nulle alors la géométrie est courbe.

[Bounoume]

on 'calcule' cette 'courbure' par des 'calculs' définis une fois pour toutes, quelle que soit 'la' géométrie concernée?

vicieux: ce 'calcul', c'est un élémént d'une 'théorie' particulière et ad hoc? théories de la mesure ??? (j'y comprends ni connais rien..... hélas)

Sans entrer dans les détails que je suis incapable de suivre, peux-tu en donner le principe?

[stefjm]

Courbure de Gauss : https://fr.wikipedia.org/wiki/Courbure_de_Gauss
et aussi :
https://fr.wikipedia.org/wiki/G%C3%A...e_des_surfaces

Comme vous le verrez, ce n'est pas très simple.

[jacquolintégrateur]

Bonjour
Procédure standard pour déterminer si un espace est "courbe":
`1) Former l'expression différentielle du second degré par rapport aux différentielles des coordonnées, dans l'un quelconque des systèmes de coordonnées utilisables (déterminé par les axiômes généraux définissant les espaces considérés). cette expression est de la forme: ds²= g_ijdxⁱdx^j , avec une sommation sur tous les couples i,j, de 1 à n (n: nombre des dimensions);
2) ranger les coefficients g_ij (qui sont, en général, des fonctions des coordonnées x_k (i,j,k, toujours toutes les valeurs de 1 à n) Dans un tableau carré (pas strictement nécessaire mais utile, pour s'y retrouver).
3) calculer, à partir des g_ij et de leurs dérivées premières, les coefficients de connexion affine, qui définissent la transformation linéaire infinitésimale, que subissent les composantes de tout vecteur lorsque l'on passe du référentiel locale en un point M, à celui d'un point infiniment voisin. Pour n dimensions, il y a n³ coefficients de connexion, fonctions des coordonnées et de leurs dérivées premières. Certains peuvent être nuls.
4) A partir des composantes de la connexions affine et de leurs dérivées premières (ce qui implique le calcul des dérivées secondes des g^ij), calculer le "tenseur de courbure" (du quatrième ordre: n⁴ composantes, dont certaines peuvent être nulles). Ces composantes s'obtiennent en formant toutes les différences des variations subies par toutes les composantes d'un vecteur quelconque, lorsque l'on passe, une fois d'un point M à M1, puis M2, infiniment voisins de M et, une fois de M à M2, puis M1.
5) Si le tenseur de courbure est identiquement nul, l'espace en litige est euclidien.
Bon courage !! C'est beaucoup moins compliqué, quand on exécute la procédure ci-dessus, que ça en à l'air quand on lit !!!
Il y a, bien sûr, un tas de bons bouquins et de liens qui expose cela.
Cordialement

[Anonyme007]

Bonjour,

A mon humble avis, et comme le font la plupart des savants philosophes pour choisir une nouvelle terminologie à une nouvelle notion relevant des sciences humaines, je dirais que la géométrie est simplement la mise en juxtaposition de deux racines éthymologiques : géo et métrie, qui signifient : géométrie = lieu géographique + un outil de mesure métrique. Bref, la géométrie est ( la science relative à ) l'exploration d'un lieu géographique par des méthodes et outils métriques. Je ne sais pas si je divague ou c'est exactement ça. Mais, j'ai simplement fourni mon humble avis très subjective sur ce terme qu'on utilise mais qu'on ignore qu'est ce qu'il désigne en toute clarté.

[Deedee81]

Je ne sais pas si je divague ou c'est exactement ça

Non, tu ne divagues pas, mais c'était ça. La notion s'est largement élargie depuis.

[Resartus]

Bonjour,
Il y a quand même une manière "accessible aux béotiens" de savoir si on est dans une surface non euclidienne : c'est de mesurer la somme des angles de triangles d'aire de plus en plus grande.
Pour un espace euclidien la somme vaut toujours pi (180°).
Pour une surface non euclidienne, l'écart à pi est proportionnel à la surface du triangle
et le coefficient de proportionnalité est la courbure de gauss (négative sur une surface hyperbolique, positive sur une surface sphérique).

Cela peut aussi se faire à 3 dimensions, en mesurant la somme des angles solides d'un tétraèdre, mais on n'obtiendra ainsi que la courbure scalaire (ou courbure de Ricci), ce qui ne suffit pas à caractériser l'espace

[Médiat]

Bonjour,

(ou courbure de Ricci)

Mes courbures préférées (si on parle bien de Christina)

Désolé

[albanxiii]

Je pense que le lien ne passera pas http://www.savoir-sans-frontieres.co...EOMETRICON.pdf mais je conseillerais à Bounoume de chercher la BD "Le géométricon" sur le net, que l'auteur a mise à disposition gratuitement. Cela explique de façon simple certaines notions dont il est question ici.

[stefjm]

Amusant de pas citer explicitement Jean Pierre Petit, dont le site www est blacklisté sur FSG mais de renvoyer quand même à un écrit qui fait référence.

La déontologie scientifique et la charte FSG oblige à la citation complète.

[albanxiii]

Procès d'intention. Comme dit l'expression populaire : quand on sait pas, on ferme sa gueule.

Le seul but de mon post était d'aider l'OP. Pas de remuer la vase comme tu sais si bien le faire.

Je n'ai rien contre Jean-Pierre Petit, je l'ai connu bien avant de connaître les controverses auxquelles tu fais allusion.

Pour l'anecdote, j'ai gagné 3 de ses BD quand j'ai participé aux olympiades de physique au lycée... c'est dire si ça ne date pas d'hier.

[JPL]

Pour dire les choses clairement je crois que personne n’a jamais critiqué ses BD ni nié qu’il fut un bon scientifique. Qu’il ait mal tourné ensuite est un fait qu’on retrouve hélas aussi chez d’autres et le Nobel ne les immunise pas tous !

[Deedee81]

Salut,

Je n'ai rien contre Jean-Pierre Petit, je l'ai connu bien avant de connaître les controverses auxquelles tu fais allusion.

Idem. J'ai eut l'occasion de discuter avec lui. Et oui c'était un très bon scientifique.

[JPL]

J’ai corrigé mon message 16 où une distraction m’avait fait dire le contraire de ce que je voulais dire vers la fin

[stefjm]

Et moi qui lis bêtement ce qui est écrit...

[Deedee81]

Et moi qui lis bêtement ce qui est écrit...

C'est déjà un premier pas

[andretou]

pardon, c'est peut-être une question vicieuse venue d'un béotien;
je ne connais, et encore qu'un peu, la géométrie euclidienne avec ses axiomes classiques.
Dedans je peux m"amuser à construire des référenciels tordus, avec des axes x,y,z, qui son des courbes, sur des sphères ou même des patates.... même si je n'essaierai jamais d'y construire et étudier des simples points ou autres choses plus compliquées :

Mais je suppose que les non euclidiens n' ont cure de les construire leur espace par cette démarche.

Je voudrais savoir comment, à partir de axiomes et théorèmes propres à leur géommétrie, les mathématiciens démontrent que telle géométrie est courbe, sphérique ou autre?
Sans la construire à partir d'Euclide?

Puisque le théorème de Pythagore n'est valide qu'en géométrie euclidienne, je propose de vérifier si l'hypoténuse d'un triangle rectangle dont les deux autres côtés ont pour longueurs 3 et 4 est égale à 5...
Cela permet déjà de savoir si on est dans une géométrie euclidienne ou non.

[Amanuensis]

(En passant...)

Juste pour faire remarquer que les "explications" les plus simples données dans ce fil buttent sur la notion de "droite". Pour parler de parallèles, de triangle, de triangle rectangle (pour prendre des cas cités dans ce fil), faut d'abord définir une notion de "droite" (et aussi d'angle)! Or c'est, selon mes expériences de tentatives de pédagogie sur le sujet, une difficulté sérieuse que cette notion en espace courbe, i.e., de travailler avec des "droites" qui sont (à un certain sens) "pas droites"... Par exemple en géométrie sphérique comprendre quelles lignes sont "droites" et lesquelles ne le sont pas n'est pas immédiat (et encore moins la définition générale s'appliquant à tout espace courbe...).

Bref, j'en suis arrivé à me demander si la première notion à essayer de "faire passer" ne serait pas celle "d'aller tout droit" dans un espace courbe...

[En termes techniques, cela demande de mettre en avant la "connexion affine" (ou transport parallèle), ce qui est visible dans le message #8, le plus "technique" sur ce fil. Sauf qu'évidemment, faut arriver à faire passer le concept en lui-même avant d'utiliser la grosse artillerie et son jargon (que ce soit "connexion affine" ou même "géodésique"). ]

Bonne suite...

[andretou]

Juste pour faire remarquer que les "explications" les plus simples données dans ce fil buttent sur la notion de "droite". Pour parler de parallèles, de triangle, de triangle rectangle (pour prendre des cas cités dans ce fil), faut d'abord définir une notion de "droite" (et aussi d'angle)! Or c'est, selon mes expériences de tentatives de pédagogie sur le sujet, une difficulté sérieuse que cette notion en espace courbe, i.e., de travailler avec des "droites" qui sont (à un certain sens) "pas droites"... Par exemple en géométrie sphérique comprendre quelles lignes sont "droites" et lesquelles ne le sont pas n'est pas immédiat (et encore moins la définition générale s'appliquant à tout espace courbe...).

Sauf erreur de ma part, selon Hilbert, le plan, le point et la droite sont trois éléments axiomatiques de la géométrie (Médiat avait donné le lien vers le texte de Hilbert traduit en Français, je veux bien qu'il nous le redonne s'il veut bien).
De ce fait, je crois que nous devons admettre qu'une droite est une droite, en géométrie euclidienne comme en géométrie non-euclidienne...

[andretou]

J'ai retrouvé la source : https://fr.wikisource.org/wiki/Les_P...e/Texte_entier

Les éléments de la Géométrie et les cinq groupes d’axiomes.

Convention. — Concevons trois différents systèmes d’êtres : les êtres du premier système, nous les nommerons points et nous les désignerons par A, B, C, … ; les êtres du deuxième système, nous le nommerons droites et nous les désignerons par a, b, c, … ; les êtres du troisième système, nous les nommerons plans et nous les désignerons par α, β, γ, … ; les points seront aussi nommés éléments de la Géométrie linéaire ; les points et les droites, éléments de la Géométrie plane ; et les points, les droites et les plans, éléments de la Géométrie de l’espace ou éléments de l’espace.

[jacquolintégrateur]

De ce fait, je crois que nous devons admettre qu'une droite est une droite, en géométrie euclidienne comme en géométrie non-euclidienne...

Bonsoir
Certes! Mais, on ne peut calculer simplement la somme des angles d'un triangle que dans un espace de Riemann homogène, donc à "courbure totale" constante (négative ou positive). Ce sont les exemples cités par Deedee81. Ces espaces admettent un groupe de rotation mais pas de groupe de similitude, de sorte que les propriétés des figures dépendent de leurs dimensions, en particulier pour les paramètres des triangles !! Ainsi, sur une sphère, la somme des angles dépend de la taille du triangle. Si l'espace considéré est à courbure constante, cette somme est simple à calculer mais, si la courbure totale varie selon le point, il faut déplacer les vecteurs tangents aux côtés (les "droites"), paralléllement à eux mêmes, d'un sommet à l'autre, opération qui fait intervenir la connexion affine. et le résultat du calcul dépend, en général, de la position du triangle.
Cordialement