Méthode des approximations successives (équations différentielles ordinaires)

[Edvart]

Bonsoir,

Dans mon UE sur les EDO, pour l'instant nous avons vu deux méthodes pour approcher les solutions des équations différentielles, lorsque la fonction second membre est au moins continue : les lignes polygonales d'Euler, qui entre autres permettent de démontrer le théorème de Péano, et les approximations successives de la suite de Picard (mais j'ai lu dans un livre que l'idée est en fait de Liouville).

J'aimerais juste réaliser quelle est l'intuition de Liouville/Picard. La méthode d'Euler est, à mon sens, d'une intuition immédiate. Si la fonction second membre est continue, on a qu'à se donner une subdivision de plus en plus fine pour avoir une approximation, de proche en proche, des dérivées en les points de la subdivision.

Mais alors :




Quelle est l'intuition pour se rendre compte que cette suite de fonction va converger vers la solution du problème de Cauchy associé :




J'ai compris la démonstration au cours de laquelle on montre que cette suite de fonction converge uniformément vers une solution du P.C, mais je suis ennuyé : cette suite est toute simple, et la convergence de cette suite vers une solution ne me saute pas aux yeux. Est-ce qu'elle vous saute aux yeux?

Merci d'avance pour votre aide
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[God's Breath]

BonjoUR,

C'est l'utilisation bête d'un théorème de point fixe.

On transforme le problème de Cauchy sous la forme , ce qui peut se faire de diverses façons.
On considère une suite qui satisfait la relation de récurrence .
Si tout se passe bien ( contractante), le théorème du point fixe assure la convergence de la suite vers l'unique solution du problème de Cauchy.

[Edvart]

Merci pour ta réponse!

En fait on a vu en cours que est une solution de P.C si et seulement si vérifie :



J'imagine que c'est ce que tu désignes par :



D'où l'intuition, si est contractante, du théorème du point fixe... Je n'avais pas fait le rapprochement (pourtant ça s'appelle la suite de PICARD) !
C'est bien ça?

[God's Breath]

Ben oui, ici, est l'expression intégrale de l'équation différentielle.

C'est la même idée que pour résoudre une équation à une inconnue : on transforme en , et on utilise une suite récurrence avec pour approcher la valeur qui annule en tant que point fixe de .

[A voir en vidéo sur Futura]