Injectivité, espaces vectoriels normés

[invitee351071a]

Bonsoir,

Dans un exercice sur les espaces vectoriels normés, il est question d'injectivité d'un endomorphisme et je ne saisis pas bien.

Voici l'exo :

(E,N) est un K-evn ; f est un endomorphisme de E.
Pour tout x de E, ||x||=N(f(x))
Déterminer une CNS sur f pour que ||.|| définisse une norme sur E.

Ma réponse :

-> Forme
On a bien f:E->E, puis ||.||:E->R+

-> Homogénéité
||kx||=N(f(kx))
=N(kf(x)) car f endomorphisme
=|k|N(f(x)) car N norme
=|k|.||x||

-> Séparation
||x||=0 >> N(f(x))=0
>> f(x)=0 car N norme
>> x=0 car f endomorphisme

-> Inégalité triangulaire
||x+y||=N(f(x+y))
=N(f(x)+f(y)) car f endomorphisme
≤N(f(x))+N(f(y)) car N norme
=||x||+||y||

Donc selon ma réponse, ||.|| définit toujours une norme.

Or selon le corrigé, f(x)=0 >> x=0 donne que f est injective... Ce que je necomprends pas.

Merci de votre aide !

Bonne soirée,

Latinus.
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[invite9dc7b526]

Or selon le corrigé, f(x)=0 >> x=0 donne que f est injective... Ce que je necomprends pas.

si f est injective alors
f(x)=0 => x=0 car on a déjà f(0)=0 (car f est linéaire)

réciproquement si f(x)=0 => x=0 alors si tu considères deux vecteurs x,y tels que f(x)=f(y) cela entraîne f(x-y)=0 (car f est linéaire) et donc par hypothèse x-y=0 soit x=y et donc f est injective, CQFD.

[Anonyme007]

Bonsoir,

-> Séparation
||x||=0 >> N(f(x))=0
>> f(x)=0 car N norme
>> x=0 car f endomorphisme

L'étape : n'est possible que si est injective et pas simplement un endomorphisme.

edit : Croisement avec le message de minushabens.

[gg0]

En complément :
Si f n'est pas injective, il existe deux éléments différents de E, x et y tels que f(x)=f(y); donc f(x)-f(y)=0=f(x-y). Donc il existe un élément non nul z=x-y tel que f(z)=f(0).

Cordialement

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitee351071a]

D'accord, merci beaucoup pour vos réponses !

Je pense que l'exemple suivant correspond au problème :

f : M2(R) -> M2(R)
M -> AM

Avec A=[[0,1],[0,0]]

On prend comme vecteur la matrice M=A et f(M)=0.