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Injectivité, espaces vectoriels normés

  1. #1
    Latinus

    Injectivité, espaces vectoriels normés

    Bonsoir,

    Dans un exercice sur les espaces vectoriels normés, il est question d'injectivité d'un endomorphisme et je ne saisis pas bien.

    Voici l'exo :

    (E,N) est un K-evn ; f est un endomorphisme de E.
    Pour tout x de E, ||x||=N(f(x))
    Déterminer une CNS sur f pour que ||.|| définisse une norme sur E.

    Ma réponse :

    -> Forme
    On a bien f:E->E, puis ||.||:E->R+

    -> Homogénéité
    ||kx||=N(f(kx))
    =N(kf(x)) car f endomorphisme
    =|k|N(f(x)) car N norme
    =|k|.||x||

    -> Séparation
    ||x||=0 >> N(f(x))=0
    >> f(x)=0 car N norme
    >> x=0 car f endomorphisme

    -> Inégalité triangulaire
    ||x+y||=N(f(x+y))
    =N(f(x)+f(y)) car f endomorphisme
    ≤N(f(x))+N(f(y)) car N norme
    =||x||+||y||

    Donc selon ma réponse, ||.|| définit toujours une norme.

    Or selon le corrigé, f(x)=0 >> x=0 donne que f est injective... Ce que je necomprends pas.

    Merci de votre aide !

    Bonne soirée,

    Latinus.

    -----


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  3. #2
    minushabens

    Re : Injectivité, espaces vectoriels normés

    Citation Envoyé par Latinus Voir le message
    Or selon le corrigé, f(x)=0 >> x=0 donne que f est injective... Ce que je necomprends pas.
    si f est injective alors
    f(x)=0 => x=0 car on a déjà f(0)=0 (car f est linéaire)

    réciproquement si f(x)=0 => x=0 alors si tu considères deux vecteurs x,y tels que f(x)=f(y) cela entraîne f(x-y)=0 (car f est linéaire) et donc par hypothèse x-y=0 soit x=y et donc f est injective, CQFD.
    Dernière modification par minushabens ; 26/02/2018 à 18h58.

  4. #3
    Anonyme007

    Re : Injectivité, espaces vectoriels normés

    Bonsoir,
    Citation Envoyé par Latinus Voir le message
    -> Séparation
    ||x||=0 >> N(f(x))=0
    >> f(x)=0 car N norme
    >> x=0 car f endomorphisme
    L'étape : n'est possible que si est injective et pas simplement un endomorphisme.

    edit : Croisement avec le message de minushabens.
    Dernière modification par Anonyme007 ; 26/02/2018 à 19h00.

  5. #4
    gg0

    Re : Injectivité, espaces vectoriels normés

    En complément :
    Si f n'est pas injective, il existe deux éléments différents de E, x et y tels que f(x)=f(y); donc f(x)-f(y)=0=f(x-y). Donc il existe un élément non nul z=x-y tel que f(z)=f(0).

    Cordialement

  6. #5
    Latinus

    Re : Injectivité, espaces vectoriels normés

    D'accord, merci beaucoup pour vos réponses !

    Je pense que l'exemple suivant correspond au problème :

    f : M2(R) -> M2(R)
    M -> AM

    Avec A=[[0,1],[0,0]]

    On prend comme vecteur la matrice M=A et f(M)=0.

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