Fibré en droite sur une courbe

[invite5357f325]

Bonjour,

soit une courbe de genre .

1) Pourquoi existe il un fibré en droite tel que ?

Si on admet l'existence sauf erreur . On prend un hyperplan affine . Chaque paramétrise une extension



On observe que .

2) Pourquoi ça implique que l'extension associé est uniquement déterminé par ?

Ces questions apparaissent car j'essaye de comprendre une preuve dans le livre "Complex algebraic surfaces" de Beauville. Comme très peu de détails sont donnés je pense que ça doit être des détails faciles qui m'échappent. Merci d'avance !
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[AncMath]

Tu peux prendre pour le fibré canonique auquel tu retranche points bien choisi.

[invite5357f325]

Merci ! J'avais déjà vu cette astuce avant en plus ><

Pour les lecteurs futurs : si L est de degré d avec au moins une section globale, celle ci définit un morphisme L -> O_p (O_p est un faisceau gratte ciel) et il est surjectif si s(p) est non nul. Donc on a trouvé un fibré L' de degré d-1 avec une section globale en moins, et on peut faire une récurrence.

Et pour la deuxième question ?

[AncMath]

Sais tu ce qu'est la construction de Serre ? Si non je pense que regarder cette construction répondra à ta seconde question.
Je détaillerai des que j'ai un moment.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite5357f325]

Non je ne connais pas ! C'est curieux parce que Beauville dit juste ça sans ajouter de détails. Oui avec plaisir quand tu as du temps, merci beaucoup.

[AncMath]

Mmmh en fait c'etait bête ce que je disais, il doit falloir simplement regarder la suite exacte longue associée à ton extension et retrouver ton extension comme l'image de la section unité du faisceau structural dans , mais je vois pas trop quel suite utiliser comme ça, parce qu'on aurait envie de tout tensoriser par L dual ou au contraire de dualiser la suite. Mais aucun des deux ne semble donner la réponse !

[invite5357f325]

En fait, je ne suis même pas sûr de comment partir : on part d'une extension et on voudrait montrer qu'il y a un isomorphisme d'extensions avec et en particulier on devrait avoir trivial et isomorphe à ce qui me semble à priori pas évident ...

[AncMath]

Heu non, tu pars de deux extensions différentes et et tu veux montrer que si et sont isomorphe alors les extensions sont isomorphes.

[invite5357f325]

Ah d'accord j'avais mal compris. Bon je vais essayer d'y réfléchir.

[0577]

Bonjour,

Pour les lecteurs futurs : si L est de degré d avec au moins une section globale, celle ci définit un morphisme L -> O_p (O_p est un faisceau gratte ciel) et il est surjectif si s(p) est non nul. Donc on a trouvé un fibré L' de degré d-1 avec une section globale en moins, et on peut faire une récurrence.

Je lis peut-être mal entre les lignes, mais il me semble que cet argument n'est pas suffisant.

Pour la seconde question, il suffit de remarquer que se donner un morphisme de faisceaux O ->E est équivalent à se donner une section de E, et que dans le cas présent, E admet une unique section non-nulle (à multiplication par un scalaire près).

[invite5357f325]

Bon en fait c'est tout bête ... L'extension est uniquement déterminé par l'application qui est précisément une section globale.

Edit : message croisé avec @0577. Pourquoi tu pense que le premier argument n'est pas suffisant ?

[invite5357f325]

Soit D un diviseur avec au moins une section globale s. Il existe donc un point p avec une surjection (le kernel étant ). On en déduit que . Si n'a plus de sections globales on a gagné, sinon on répète et à la fin, si D est un diviseur de degré d avec m sections globales alors il existe un diviseur D' de degré d-m sans sections globales. Non ?

[0577]

Bonjour,

Soit D un diviseur avec au moins une section globale s. Il existe donc un point p avec une surjection (le kernel étant ). On en déduit que . Si n'a plus de sections globales on a gagné, sinon on répète et à la fin, si D est un diviseur de degré d avec m sections globales alors il existe un diviseur D' de degré d-m sans sections globales. Non ?

Cet argument est correct. Mais si on l'applique pour répondre à la question initiale avec D=K_C le fibré canonique, ce qui était la suggestion intiale d'AncMath, alors D est un diviseur de degré 2g-2 avec g sections globales, et on déduit qu'il existe un diviseur de degré g-1=2g-2-(g-1)
avec g-(g-1)=1 section globale, ce qui n'est pas ce qu'on veut. En fait, les fibrés en droites L de degré g-1 avec h^0(L) non-nul sont exactement ceux qui peuvent s'obtenir en retranchant g-1 points au fibré canonique (par Riemann-Roch, h^0(L) non-nul est équivalent à h^1(L) non-nul, ce qui, par dualité de Serre, est équivalent à h^0(K_C-L) non-nul).

[invite5357f325]

Ah oui exact. Du coup une idée pour construire ce diviseur ? Si on essaye "dans l'autre sens" il faudrait tout le temps rajouter des points en étant sûr de ne jamais avoir de sections globales et ça ne m'a pas l'air plus facile ...

[0577]

Pour appliquer l'argument, il suffit de trouver un diviseur de degré 2g-2 avec h^0=g-1. Si on écrit ce diviseur K_C+D avec D de degré 0, on veut
h^0(K_C+D)=g-1, i.e. par Riemann-Roch h^1(K_C+D)=0. Par dualité de Serre, c'est équivalent à h^0(-D)=0. Il suffit donc de trouver un diviseur de degré zéro qui n'a pas de section: si p et q sont deux points distincts, alors p-q convient (sinon, on aurait une application de degré 1 vers P^1, contradiction avec le fait que la courbe est de genre >0).

Une manière alternative de répondre à la question initiale, mais nécessitant plus de connaissances: pour tout entier positif n, on a une application
(dite d'Abel-Jacobi) de C^n vers l'espace des fibrés en droites de degré n:
(p_1, ...,p_n)->O(p_1+...+p_n)
dont l'image est exactement l'ensemble des fibrés en droites de degré n admettant une section. Mais l'espace des fibrés en droites de degré n a une structure naturelle de variété algébrique de dimension g. Pour n=g-1, l'image de l'application d'Abel-Jacobi est de dimension inférieure ou égale à g-1 (car image de C^{g-1}) et ne peut donc coincider avec toute la variété de dimension g des fibrés en droites de degré g-1. Un fibré en droites dans le complément de cet image est un fibré en droite de degré g-1 sans section.

[invite5357f325]

Parfait ! Ton deuxième argument est super. C'est fou comme j'ai l'impression de plus apprendre avec ces petites questions qu'en lisant la théorie abstraite ...

[AncMath]

Effectivement mes indications n'étaient pas bonnes !
Je vais blâmer le rhum du salon de l'agriculture pour ne pas perdre la face.

[invite5357f325]

Bonjour, je reviens avec deux autres questions, probablement très naïve :

1) Que signifie un morphisme d'un fibré E vers un faisceau F ? C'est probablement un morphisme du faisceau des sections de E vers F mais je n'en suis pas si sûr.

2) Si on est d'accord avec 1) : Soit E un fibré de rang 2 sur une courbe C, et S la surface projective associé. Pourquoi on a un morphisme canonique pour tout ? Mon idée serait de multiplier par deux sections qui sont nulles toute les deux seulement en s. Mais je sais pas si ça existe. Bref je suis un peu confus.

Motivation : dans le même livre une page plus loin, il est écrit qu'il y a un morphisme naturel et que le noyau est un fibré de rang 2. Inutile de vous dire que je suis un peu perdu ... Merci d'avance !

[Anonyme007]

Bonsoir,

1) Que signifie un morphisme d'un fibré E vers un faisceau F ? C'est probablement un morphisme du faisceau des sections de E vers F mais je n'en suis pas si sûr.

La réponse à cette question se trouve dans le livre de Tamas_Szamuely, Galois groups and fundamental groups, à partir de la page : .

[Anonyme007]

Ton livre n'est pas accessible depuis le net, afin de pouvoir voir le cheminement du raisonnement suivi dans ce livre depuis le début.

[Anonyme007]

Bonsoir,



La réponse à cette question se trouve dans le livre de Tamas_Szamuely, Galois groups and fundamental groups, à partir de la page : .

C'est dans le livre de Claire Voisin aussi, géométrie algébrique et théorie de Hodge. Il y'a un chapitre sur les faisceaux. je crois que c'est au chapitre numéro trois si ma mémoire est bonne.