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Matrices - Inverse et calcul de la puissance nième

  1. #1
    genasol

    Matrices - Inverse et calcul de la puissance nième

    Bonjour à tous et à toutes, je viens à vous pour de l'aide car j'ai un long problème à faire et j'étais absente au dit cours. je l'ai bien rattrapé et compris mais il ne semble pas m'aider car notre prof a plus détailler dans les exercices dont j'ai biensur recopié la correction mais je n'y arrive toujours pas.

    soit un réel non nul. on définit la matrice

    et I désigne la matrice unité de taille 3.

    a- Montrer qu'il esiste deux réels a et b indépendants de tels que

    b- déduire de la question précédente que A et inversible et exprimer en fonction de A et I

    1_ Montrer par récurrence que n N, il existe deux réel et vérifiant

    on donnera les valeurs et on justifiera que n N ,
    2 Montrer que est une suite récurrente linéaire d'ordre 2 dont on précisera les deux premiers termes.
    3. Déterminer en fonction de n et puis de en fonction de n
    4. en déduire en fonction de n, A et I
    5. Déterminer le matrice

    On pose

    1. Montrer que P est inversile
    2. Calculer
    3. Montrer que & AP est une matrice diagonale D que l'on déterminera (on vérifiera que D ne dépend pas de \alpha )
    4. Exprimer A en fonction de D, P et , puis en fonction de D, n P et
    5. Retrouver alors la matrice

    -----


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  3. #2
    Tryss2

    Re : Matrices - Inverse et calcul de la puissance nième

    Qu'est ce qui te pose problème dans cet exercice?

  4. #3
    genasol

    Re : Matrices - Inverse et calcul de la puissance nième

    Pour dire vrai je n'arrive mm pas à faire la première question bien que j'ai regardé des vidéos sur youtube. Si vous pouviez me donner des indications pour me lancer.

    Je n'ai pas assisté au cours, c'est pourquoi certainement je n'y arrive pas autant..

  5. #4
    Tryss2

    Re : Matrices - Inverse et calcul de la puissance nième

    Peux tu calculer A² + aA + bI ?

  6. #5
    genasol

    Re : Matrices - Inverse et calcul de la puissance nième

    Citation Envoyé par Tryss2 Voir le message
    Peux tu calculer A² + aA + bI ?
    je dois la calculer littéralement en remplacement A par la matrice?

  7. #6
    Tryss2

    Re : Matrices - Inverse et calcul de la puissance nième

    Qu'est-ce que tu sais d'autre sur A que son expression littérale? Rien, donc tu ne peux pas faire grand chose d'autre que de remplacer A par son expression littérale non?

  8. #7
    genasol

    Re : Matrices - Inverse et calcul de la puissance nième

    oui biensur. J'ai vu des factorisations sur mes corrections du coup je me suis imaginée des trus --'

    En remplaçant je tombe sur une grosse matrice 3x3. et pour qu'elle soit nulle j'ai posé que chaque devait être nul mais sa me donne un système pas du tout logique

  9. #8
    Tryss2

    Re : Matrices - Inverse et calcul de la puissance nième

    Déjà, il y a une erreur dans ton énoncé, la bonne matrice A c'est



    Et alors



    qui s'exprime simplement en fonction de A et I. Peux tu écrire A² comme combinaison linéaire de A et I?

  10. #9
    genasol

    Re : Matrices - Inverse et calcul de la puissance nième

    oui vous avez raison. Et j'ai recopié la même erreur en suivant vos instructions. désolée.
    Il vient que A^2= A+2I
    D'ou a= -1 et b=-2
    Dernière modification par genasol ; 03/03/2018 à 15h41.

  11. #10
    genasol

    Re : Matrices - Inverse et calcul de la puissance nième

    je ne vois pas ce qui nous permet d'en déduire que A est inversible mais je trouve pour

  12. #11
    gg0

    Re : Matrices - Inverse et calcul de la puissance nième

    A²-A=2I
    A(A-I)=2I
    A( 1/2(A-I))=I
    la preuve est faite !!

  13. #12
    genasol

    Re : Matrices - Inverse et calcul de la puissance nième

    Citation Envoyé par gg0 Voir le message
    A²-A=2I
    A(A-I)=2I
    A( 1/2(A-I))=I
    la preuve est faite !!
    Bonjour Ggo, merci à vous. C'est bien ce que j'ai fait et trouvé. Mais ma question c'était comment déduire de l'existence d'un polynôme annulateur que la matrice est inversible, en calculant la matrice inverse tout simplement?
    Dernière modification par genasol ; 03/03/2018 à 16h27.

  14. #13
    Tryss2

    Re : Matrices - Inverse et calcul de la puissance nième

    Oui. Un des moyens les plus simples de prouver qu'un truc est inversible, c'est encore de donner son inverse. (ce qui ne veut pas forcément dire que trouver l'inverse soit simple ! )

    Après, petite précision, l'existence d'un polynôme annulateur ne dit pas que la matrice est inversible, il faut une petite condition sur le polynôme : que P(0) soit différent de 0
    Dernière modification par Tryss2 ; 03/03/2018 à 17h42.

  15. #14
    gg0

    Re : Matrices - Inverse et calcul de la puissance nième

    J'ai parfaitement déduit de l'existence de ce polynôme annulateur le fait que A est inversible. Inutile d'aller chercher des complications.

    Cordialement.

  16. #15
    minushabens

    Re : Matrices - Inverse et calcul de la puissance nième

    Citation Envoyé par Tryss2 Voir le message
    il faut une petite condition sur le polynôme : que P(0) soit différent de 0
    et soit inversible.

  17. #16
    Tryss2

    Re : Matrices - Inverse et calcul de la puissance nième

    Oui, enfin on va peut être se contenter de résultats de matrices à coefficients dans un corps. Pas que la théorie des modules ne soit intéressante, mais je doute que ce soit très utile à genasol pour le moment.

  18. #17
    gg0

    Re : Matrices - Inverse et calcul de la puissance nième

    Que veux-tu dire, Minushabens ?

    Si P(0) est un réel ou un complexe non nul, il est inversible. Et Genasol n'a pas l'air de manipuler des matrices sur autre chose que R ou C ( est un réel).

    Donc, pour Genasol, il serait utile de préciser ton propos.

    Cordialement.

  19. #18
    genasol

    Re : Matrices - Inverse et calcul de la puissance nième

    Bonjour, merci à tous de vos réponses.
    Du coup je calcule P(0)?

    Je me suis essayé à la récurrence aussi.

    A^0=I
    Mais pour l'hypothèse de récurrence A^0= a_0A + b_0 I . Je dois donc trouver a_0 et b_0 pour que la somme fasse I?

    Désolé pour le latex. J'ai un problème avec mon ordinateur d'où mon absence de réponses. J'y remédie..

  20. #19
    gg0

    Re : Matrices - Inverse et calcul de la puissance nième

    Ben non, tu n'as pas besoin de calculer P(0). Juste de voir que A est inversible.

    Tu es vraiment incapable d'imaginer des valeurs de a_0 et b_0 pour que A^0= a_0A + b_0 I ? Tu vois au moins quelle matrice est A^0 ?

  21. #20
    genasol

    Re : Matrices - Inverse et calcul de la puissance nième

    Oui la matrice est la matrice identité.

    Pour on peut poser et
    Dernière modification par genasol ; 06/03/2018 à 09h46.

  22. #21
    genasol

    Re : Matrices - Inverse et calcul de la puissance nième

    Au rang n il faut montrer que
    HR ==>



    Je ne sais pas comment terminé? Ou suis-je mal partie?
    Dernière modification par genasol ; 06/03/2018 à 10h01.

  23. #22
    minushabens

    Re : Matrices - Inverse et calcul de la puissance nième

    Tu peux conclure en remarquant que A^2 est de la forme qu'il faut.

  24. #23
    genasol

    Re : Matrices - Inverse et calcul de la puissance nième

    Citation Envoyé par minushabens Voir le message
    Tu peux conclure en remarquant que A^2 est de la forme qu'il faut.
    C'est vrai, je suis bête

    en exprimant et A avec l'hypothèse de rcurrence il vient que



    En posant et

    On obtient l'égalité du rang n+1 c'est bien sa?

  25. #24
    gg0

    Re : Matrices - Inverse et calcul de la puissance nième

    Méthodologie : Quand, dans un problème, on ne voit plus quoi faire, on relit ce qu'on a déjà trouvé et l'énoncé. En général il y a ce dont on a besoin.

    Cordialement.

  26. #25
    genasol

    Re : Matrices - Inverse et calcul de la puissance nième

    Oui j'essaierai de plus y penser la prochaine fois, merci Ggo.


    Citation Envoyé par genasol Voir le message
    C'est vrai, je suis bête

    en exprimant et A avec l'hypothèse de rcurrence il vient que



    En posant et

    On obtient l'égalité du rang n+1 c'est bien sa?
    Donc en remplaçant par les valeurs que j'ai trouvé c'est à dire que
    J'arrive à trouver l'égalité demandé en 1.

    Toutefois arrivée à la 3. pour exprimer a_n en fonction de n je trouve quelque chose que je ne trouve pas cohérent --'

    et étant les racines de l'équation caractéristique de la suite d'ordre



    Dernière modification par genasol ; 07/03/2018 à 12h38.

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