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Existence d'une suite

  1. #1
    Gumus07

    Cool Existence d'une suite

    Bonjour tout le monde,
    j'aurai besoin de votre aide s'il vous plait, peut on montrer l'existence d'une suite , telle que

    converge vers quand .
    Merci pour votre aide
    Cordialement.

    -----


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  3. #2
    minushabens

    Re : Existence d'une suite

    quid de la suite
    x1=pi
    x2=14pi
    x3=141pi
    x4=1414pi
    etc

  4. #3
    Resartus

    Re : Existence d'une suite

    Bonjour,
    on peut chercher dans les sous suites de la suite xn=pi(1+2n)
    S'il s'agit juste de démontrer que cela existe, on peut constater que l'ensemble des xn.racine(2) mod (2pi) est dense sur le segment 0-2pi (démonstration par l'absurde par exemple : si ce n'était pas le cas, racine(2) serait rationnel)

    et donc on peut choisir un ensemble de ni tels que les xni.Racine(2) mod 2pi s'approchent aussi près qu'on veut de pi.


    Pour exhiber une telle suite, j'ai l'intuition qu'on peut utiliser un développement en fraction continue de 2pi/(racine(2)-1) mais là je n'arrive pas à voir comment monter le raisonnement.
    Si personne n'a répondu entretemps, je réessayerai demain matin, avec neurones reposés ...
    Why, sometimes I've believed as many as six impossible things before breakfast

  5. #4
    Resartus

    Re : Existence d'une suite

    Rebonjour,
    Ah oui, chapeau minus Habens ; C'est bien plus simple :
    par contre il faut exclure les nombres pairs qui donneraient un cos de 1 et pas -1...
    Why, sometimes I've believed as many as six impossible things before breakfast

  6. #5
    Gumus07

    Re : Existence d'une suite

    Bonsoir minushabens,
    Merci pour votre reponse, mais je n'ai pas pu comprendre comment avec cette suite on peut obtenir -2?
    Merci encore.

  7. #6
    Gumus07

    Cool Re : Existence d'une suite

    Citation Envoyé par Resartus Voir le message
    Bonjour,
    on peut chercher dans les sous suites de la suite xn=pi(1+2n)
    S'il s'agit juste de démontrer que cela existe, on peut constater que l'ensemble des xn.racine(2) mod (2pi) est dense sur le segment 0-2pi (démonstration par l'absurde par exemple : si ce n'était pas le cas, racine(2) serait rationnel)

    et donc on peut choisir un ensemble de ni tels que les xni.Racine(2) mod 2pi s'approchent aussi près qu'on veut de pi.


    Pour exhiber une telle suite, j'ai l'intuition qu'on peut utiliser un développement en fraction continue de 2pi/(racine(2)-1) mais là je n'arrive pas à voir comment monter le raisonnement.
    Si personne n'a répondu entretemps, je réessayerai demain matin, avec neurones reposés ...
    Bonsoir,
    Merci pour votre réponse, j'ai bien compris votre idée.
    Mais je n'ai pas compris comment on montre que l'ensemble des xn.racine(2) mod (2pi) est dense sur le segment 0-2pi ?
    Si c'est possible de me montrer comment la construire, ça me sera très utile ! Merci encore une fois
    Cordialement

  8. #7
    ansset

    Re : Existence d'une suite

    Citation Envoyé par minushabens Voir le message
    quid de la suite
    x1=pi
    x2=14pi
    x3=141pi
    x4=1414pi
    etc
    cela me semble insuffisant ,
    ta suite vaut E(rac(2)*10^n)pi si je vois juste.
    on ne garde bien sur que les chiffres impairs pour que cos(xn)=-1
    mais rac(2)E(rac(2)*10^n)pi tend vers (2*10^n)pi qui est un multiple pair de pi
    Dernière modification par ansset ; 10/03/2018 à 01h31.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  9. #8
    ansset

    Re : Existence d'une suite

    même le développement partiel de 10^n/rac(2) ne marche pas car la seconde suite présente tj un facteur pair eq à 10^n
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  10. #9
    minushabens

    Re : Existence d'une suite

    @ansset: tu as raison. C'est une intuition foireuse que j'ai eue hier et pas vérifiée. Il faut un peu plus de travail pour exhiber une suite convenable...
    Dernière modification par minushabens ; 10/03/2018 à 06h26.

  11. #10
    Gumus07

    Re : Existence d'une suite

    Bonjour,
    Merci pour vos réponses. Mais comment peut on faire alors?
    Cordialement

  12. #11
    Resartus

    Re : Existence d'une suite

    Bonjour,
    De retour avec des neurones frais...

    Toujours en partant de la suite xn=pi(1+2n) dont le cos vaut -1.
    On étudie les termes de la forme racine(2).xn mod 2pi, mais pour simplifier le raisonnement, je vais plutôt étudier la suite vn=(racine(2)-1).xn mod 2pi (replacée entre -pi et pi, pour éviter un effet de bord en zero).
    Si on trouve des vn qui tendent vers zero, alors on aura des racine(2).xn mod 2pi qui tendent vers pi, et dont le cos tendra vers -1...

    On prend le développement en fraction continue de 1/(racine(2)-1). Le kième terme sera de la forme ak/bk, et on sait qu'il sera plus proche de
    de 2/(racine(2)-1) que 1/bk²*. On en déduit que la différence entre vbk et zero est inférieure en valeur absolue à 2pi/bk et tend vers zero...


    *C'est une propriété connue des développements en fraction continue des nombres irrationnels. Voir ici par exemple https://fr.wikipedia.org/wiki/Fraction_continue
    Dernière modification par Resartus ; 10/03/2018 à 10h36.
    Why, sometimes I've believed as many as six impossible things before breakfast

  13. #12
    Gumus07

    Re : Existence d'une suite

    Citation Envoyé par Resartus Voir le message
    Bonjour,
    De retour avec des neurones frais...

    Toujours en partant de la suite xn=pi(1+2n) dont le cos vaut -1.
    On étudie les termes de la forme racine(2).xn mod 2pi, mais pour simplifier le raisonnement, je vais plutôt étudier la suite vn=(racine(2)-1).xn mod 2pi (replacée entre -pi et pi, pour éviter un effet de bord en zero).
    Si on trouve des vn qui tendent vers zero, alors on aura des racine(2).xn mod 2pi qui tendent vers pi, et dont le cos tendra vers -1...

    On prend le développement en fraction continue de 1/(racine(2)-1). Le kième terme sera de la forme ak/bk, et on sait qu'il sera plus proche de
    de 2/(racine(2)-1) que 1/bk²*. On en déduit que la différence entre vbk et zero est inférieure en valeur absolue à 2pi/bk et tend vers zero...


    *C'est une propriété connue des développements en fraction continue des nombres irrationnels. Voir ici par exemple https://fr.wikipedia.org/wiki/Fraction_continue
    Bonsoir,
    J'ai passé beaucoup de temps à essayer de comprendre votre solution, mais je n'y arrive pas !
    comment est ce que est replacée entre et ?
    si tend vers pourquoi mod tendent vers ?
    La suite de le démonstration est aussi flou pour moi!
    Merci pour tout le temps que vous avez consacré pour me répondre

  14. #13
    ansset

    Re : Existence d'une suite

    j'avoue que ce n'est pas clair pour moi non plus.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  15. #14
    God's Breath

    Re : Existence d'une suite

    Bonjour,

    Les réduites du développement en fraction continue de sont les fractions irréductibles où les suites et
    satisfont la même relation de récurrence linéaire à deux termes :



    avec les valeurs initiales :



    ce qui permet de prouver facilement par récurrence que est impair pour tout , tandis que a la parité contraire de .

    On en déduit que la suite définie par : convient.

    D'une part, pour tout entier , est impair, donc : ; d'autre part :



    et comme est impair et que tend vers :



    Si l'on veut vérifier directement les propriétés annoncées, on explicite et en utilisant la relation de récurrence ; on obtient:



    ce qui permet de donner en fonction de , et de vérifier que tend vers .
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  16. #15
    ansset

    Re : Existence d'une suite

    merci, c'est plus clair pour ce qui me concerne.
    où plutôt décrit avec plus de détail.
    pas évident quand même.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  17. #16
    Gumus07

    Re : Existence d'une suite

    Citation Envoyé par God's Breath Voir le message
    Bonjour,

    Les réduites du développement en fraction continue de sont les fractions irréductibles où les suites et
    satisfont la même relation de récurrence linéaire à deux termes :



    avec les valeurs initiales :



    ce qui permet de prouver facilement par récurrence que est impair pour tout , tandis que a la parité contraire de .

    On en déduit que la suite définie par : convient.

    D'une part, pour tout entier , est impair, donc : ; d'autre part :



    et comme est impair et que tend vers :



    Si l'on veut vérifier directement les propriétés annoncées, on explicite et en utilisant la relation de récurrence ; on obtient:



    ce qui permet de donner en fonction de , et de vérifier que tend vers .
    Bonjour,
    Je vous remercie infiniment pour réponse qui est d'ailleurs très clair, j'avoue que je n'avais jamais travaillé avec ces fractions continues, donc c'est l'occasion pour moi de les connaitre.
    Merci encore une fois et bonne journée.

  18. #17
    God's Breath

    Re : Existence d'une suite

    L'idée de base est d'obtenir simultanément : et .

    Ce qui revient peu ou prou à dire que l'on a deux suites d'entiers, et , telles que : et (pour l'instant, je parle bien évidemment d'approximation des valeurs et pas de suites équivalentes).

    Ces deux suites permettent donc une approximation rationnelle de : .

    Le développement en fraction continue est alors une idée naturelle pour obtenir de telles approximations. Il reste alors à régler les détails, en particulier le fait que l'on veut approximer par des fractions à numérateur et dénominateur tous deux impairs.
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  19. #18
    Gumus07

    Re : Existence d'une suite

    Bonsoir,
    Merci beaucoup, vous m'avez beaucoup éclaircit la réponse.
    Cordialement

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