Petite question sur des suites.

[inviteb2cc74dc]

Bonjour, voici une petite question que je me suis posé en cherchant les valeurs propres d'une matrice :

Soit p un entier naturel, si je vous donne la suite des x0, x1, ..., xp, existe-t-il un moyen de savoir si il existe une formule qui exprime xn pour tout n entre 0 et p?
J'allais dire une fonction mais si j'avais dit ça, il aurait suffit de prendre une fonction définie telle que f(0) = x0, f(1) = x1 etc.. et on aurait eu notre fonction.

J'espère que ma question n'est pas trop confuse ou trop idiote.

Cordialement
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[invitedf3b174e]

Bonjour, voici une petite question que je me suis posé en cherchant les valeurs propres d'une matrice :

Soit p un entier naturel, si je vous donne la suite des x0, x1, ..., xp, existe-t-il un moyen de savoir si il existe une formule qui exprime xn pour tout n entre 0 et p?
J'allais dire une fonction mais si j'avais dit ça, il aurait suffit de prendre une fonction définie telle que f(0) = x0, f(1) = x1 etc.. et on aurait eu notre fonction.

J'espère que ma question n'est pas trop confuse ou trop idiote.

Cordialement

Question d’existence ?
Oui, il existe surement une formule,
Car il est impossible de démonter qu’il n’existe pas de formule. Si on s’autorise de créer plus de symboles et plus de langage on finira par trouver la formule

[invite23cdddab]

Ta question n'est pas idiote, surtout quand tu as vu que c'est trivial si tu remplaces "formule" par "fonction".

La vraie question finalement c'est "Qu'est-ce que j'appelle formule?". Tant qu'on n'y a pas répondu, se demander si des choses sont exprimés par une formule, c'est un peu vide de sens. C'est d'ailleurs pour ça que ta question te parait confuse

[gg0]

Bonjour TesiI.

Non seulement il existe une fonction (*), mais même une fonction polynôme de degré au plus p telle que "f(0) = x0, f(1) = x1 etc. On appelle ça le polynôme d'interpolation de Lagrange.

Cordialement.

(*) plus exactement une infinité de fonctions.

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteb2cc74dc]

Bonjour TesiI.

Non seulement il existe une fonction (*), mais même une fonction polynôme de degré au plus p telle que "f(0) = x0, f(1) = x1 etc. On appelle ça le polynôme d'interpolation de Lagrange.

Cordialement.

(*) plus exactement une infinité de fonctions.

Bonjour et merci pour votre réponse.
Le polynôme d'interpolation de Lagrange ne me convient pas trop car si je veux exprimer un xi, je dois le faire en fonction des autres xj. Ma question était plutôt de savoir si on peut trouver une "formule" qui exprime les xi indépendamment des autres xj.

Ta question n'est pas idiote, surtout quand tu as vu que c'est trivial si tu remplaces "formule" par "fonction".

La vraie question finalement c'est "Qu'est-ce que j'appelle formule?". Tant qu'on n'y a pas répondu, se demander si des choses sont exprimés par une formule, c'est un peu vide de sens. C'est d'ailleurs pour ça que ta question te parait confuse

Oui c'est vrai que c'est une question que je me suis posé aussi, du coup je ne sais pas si il y a déjà des gens qui se sont amusés à définir cela mais j'imagine qu'on peut appeler "formule" une expression qui s'écrit avec les opérations et fonctions usuelles ( plus les séries, les intégrales et les dérivées peut-être? )
On pourrait peut-être même faire une définition plus rigoureuse dans le style grammaire hors-contexte.

Pour préciser le contexte, j'avais une relation de récurrence sur le polynôme caractéristique et cela me permettait par récurrence de trouver une expression numérique des valeurs propres.
Cependant je n'arrivais pas à généraliser, c'est à dire que j'étais obligé de calculer à chaque étape les racines du polynôme caractéristique, je ne parvenais pas à inférer une formule qui me donnerait les valeurs propres pour tout n.
J'ai ensuite par une autre méthode trouvé les valeurs propres qui était de la forme sin²(k*pi/(n+1)) avec n le nombre de lignes de la matrice, et k entre 1 et n.

Mon problème était donc que j'arrivais à calculer numériquement toutes ces valeurs propres par ma relation de récurrence sur le polynôme caractéristique, mais même en faisant des tonnes de calculs, je n'ai pu trouver la formule sin²(k*pi/(n+1)) qu'en cherchant les valeurs propres avec une autre méthode.