Ecriture tensorielle
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Ecriture tensorielle



  1. #1
    Jon83

    Ecriture tensorielle


    ------

    Bonjour à tous!
    J'ai l'expression vectorielle suivante (pj1) où les vecteurs sont écrits en caractère gras.
    On me dit qu'elle s'écrit, en notations tensorielles de la façon suivante : (pj2).
    Quelqu'un peut-il m'expliquer comment on choisit les indices: pour i, je comprends, mais pourquoi k?

    -----
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  2. #2
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Ecriture tensorielle

    Bonjour.

    C'est pas du tout clair !
    Dans la première formule, la somme porte sur quoi ? Le symbole somme n'est-il pas de trop ?
    Qui sont m, r et ? Et quelles sont les opérations en cause (le m( ) de la fin semble dire que m est une fonction) ?

    Cordialement.

  3. #3
    Deedee81
    Modérateur

    Re : Ecriture tensorielle

    Salut,

    Tel quel, ça m'a l'air faux. Mais d'où viennent ces formules, c'est qui "on" ?
    J'aurais plutôt écrit les deux expressions sans les signes sommation (gg0 a raison, il y a une sommation de trop), et en utilisant la convention de sommation d'Einstein (somme sur les indices répétés) :



    J'aurais pu utiliser i au lieu de k, mais j'ai mis un indice différent pour éviter toute confusion.
    Ainsi la sommation sur i donne le carré de la norme du vecteur r, la sommation sur k donne le produit de r par omega.
    Et j donne la jième composante du vecteur M.
    "Il ne suffit pas d'être persécuté pour être Galilée, encore faut-il avoir raison." (Gould)

  4. #4
    Deedee81
    Modérateur

    Re : Ecriture tensorielle

    Ah oui, il s'agit plutôt de notations vectorielles (à gauche) et en composantes (à droite).
    Mais bon, tensoriel n'est pas faux
    "Il ne suffit pas d'être persécuté pour être Galilée, encore faut-il avoir raison." (Gould)

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    Jon83

    Re : Ecriture tensorielle

    Désolé de n'avoir pas été plus explicite....
    1)On est dans l'espace R^3
    2) m est une constante représentant la masse affectée à un point matériel
    3) r est le rayon vecteur associé à un point et a pour composante x_1 , x_2 , x_3
    4) Oméga est un vecteur (représentant la vitesse angulaire) et a pour composantes Oméga_1 , Oméga_2, Oméga_3
    5) la somme porte sur tous les points du système, et peut donc être ignorée, ainsi que m ...

  7. #6
    Jon83

    Re : Ecriture tensorielle

    Citation Envoyé par Deedee81 Voir le message
    Salut,

    Tel quel, ça m'a l'air faux. Mais d'où viennent ces formules, c'est qui "on" ?
    J'aurais plutôt écrit les deux expressions sans les signes sommation (gg0 a raison, il y a une sommation de trop), et en utilisant la convention de sommation d'Einstein (somme sur les indices répétés) :



    J'aurais pu utiliser i au lieu de k, mais j'ai mis un indice différent pour éviter toute confusion.
    Ainsi la sommation sur i donne le carré de la norme du vecteur r, la sommation sur k donne le produit de r par omega.
    Et j donne la jième composante du vecteur M.
    Merci pour vos réponses!
    "on" ce sont Messieurs Landau et Lifchitz dans le tome 1 de leur célébrissimes ouvrage de Physique Théorique , tome 1 "Mécanique classique" page 145...
    Comme quoi, même de célèbres physiciens peuvent être abscons dans leurs écritures mathématiques ...
    Dernière modification par Jon83 ; 27/03/2018 à 14h23.

  8. #7
    Deedee81
    Modérateur

    Re : Ecriture tensorielle

    D'accord, j'ai trouvé (page 106 troisième édition en anglais).

    En fait, il y a juste eut confusion entre le L minuscule et le i.
    Ils ont utilisés i pour ce que j'ai noté j.
    Ils ont utilisés l pour ce que j'ai noté i.

    C'est donc correct. A ceci près, qu'en effet, la sommation sur les points, ce n'est pas clair dans la notation.
    "Il ne suffit pas d'être persécuté pour être Galilée, encore faut-il avoir raison." (Gould)

  9. #8
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Ecriture tensorielle

    J'ai le Landau-Lifchitz sous les yeux, il faut tout lire (et connaître le calcul vectoriel classique !! Et leur formulation n'est en rien absconse pour un physicien ou un mathématicien (même débutant, je lisais ça à 17 ans, en terminale - pour moi, hors programme).
    Voici ce qui est écrit :

    Ici, on comprend bien les opérations en cause, la notation en gras désignant les vecteurs (pas de tenseur ici) et le produit () étant le produit vectoriel, transformé ensuite en une différence de vecteurs, l'un produit de par un réel (carré scalaire), l'autre étant le produit du vecteur r par un produit scalaire (produit écrit à l'envers, les physiciens ne s'occupant pas de l'ordre d'écriture).
    Et il n'y a plus qu'à examiner les composantes des deux vecteurs en cause ... et ne pas oublier la convention d'Einstein.

    Cordialement
    Dernière modification par gg0 ; 27/03/2018 à 15h22.

  10. #9
    Jon83

    Re : Ecriture tensorielle

    Citation Envoyé par gg0 Voir le message
    J'ai le Landau-Lifchitz sous les yeux, il faut tout lire (et connaître le calcul vectoriel classique !! Et leur formulation n'est en rien absconse pour un physicien ou un mathématicien (même débutant, je lisais ça à 17 ans, en terminale - pour moi, hors programme).
    Voici ce qui est écrit :

    Ici, on comprend bien les opérations en cause, la notation en gras désignant les vecteurs (pas de tenseur ici) et le produit () étant le produit vectoriel, transformé ensuite en une différence de vecteurs, l'un produit de par un réel (carré scalaire), l'autre étant le produit du vecteur r par un produit scalaire (produit écrit à l'envers, les physiciens ne s'occupant pas de l'ordre d'écriture).
    Et il n'y a plus qu'à examiner les composantes des deux vecteurs en cause ... et ne pas oublier la convention d'Einstein.

    Cordialement
    Je suis d'accord: jusque là c'est du niveau de terminale ! Mais juste après, il est écrit : "soit en notation tensorielle ...." et là, je comprends la traduction sur le terme x_i².Oméga_i , mais je ne comprends pas le terme x_i.x_k.Oméga_k : ok pour x_i, mais x_k.Oméga_k doit représenter le produit vectoriel r.Oméga qui est égal à x_1.Oméga_1+x_2.Oméga_2+x_3.Om éga_3 ....
    Donc la suite des deux indices k signifierait qu'il y a sommation pour k=1 à 3 ?

  11. #10
    Deedee81
    Modérateur

    Re : Ecriture tensorielle

    Citation Envoyé par gg0 Voir le message
    même débutant, je lisais ça à 17 ans, en terminale - pour moi, hors programme).
    Courageux. J'ai toujours trouvé les LS extrêmement arides (même si complet et excellents).
    J'ai lu le LS sur l'électrodynamique quantique, et je dois dire que j'ai eut un peu de mal à arriver au bout.
    Pour l'électrodynamique le plus lisible est Tanoudji puis excellent aussi Itzykson/Zuber et Nelipa.
    Mais en mécanique classique je n'ai pas de bonne référence à conseiller car moi c'était justement au programme et donc j'ai eut une formation scolaire.
    "Il ne suffit pas d'être persécuté pour être Galilée, encore faut-il avoir raison." (Gould)

  12. #11
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Ecriture tensorielle

    Jon83 :

    Le x_kOméga_k suit la convention d'Einstein, c'est en fait une somme de produits, qui multiplie la composant x_i de r.
    Pour ma part, c'est la suite que j'avais trouvée difficile à comprendre (et depuis plus de 50 ans, j'ai tout oublié ).

    Cordialement.

  13. #12
    Jon83

    Re : Ecriture tensorielle

    Citation Envoyé par gg0 Voir le message
    Jon83 :

    Le x_kOméga_k suit la convention d'Einstein, c'est en fait une somme de produits, qui multiplie la composant x_i de r.
    Pour ma part, c'est la suite que j'avais trouvée difficile à comprendre (et depuis plus de 50 ans, j'ai tout oublié ).

    Cordialement.
    Effectivement!
    J'étais convaincu que cette règle s'appliquait lorsque le même indice était positionné en haut et en bas ...
    Extrait de Wikipédia "Selon cette convention, quand l'indice d'une variable apparaît deux fois dans un terme, on sous-entend la sommation sur toutes les valeurs que peut prendre cet indice. Cet indice est dit muet. On le fait figurer une fois en position supérieure, une fois en position inférieure." ???

  14. #13
    mach3
    Modérateur

    Re : Ecriture tensorielle

    Citation Envoyé par Jon83 Voir le message
    Effectivement!
    J'étais convaincu que cette règle s'appliquait lorsque le même indice était positionné en haut et en bas ...
    Extrait de Wikipédia "Selon cette convention, quand l'indice d'une variable apparaît deux fois dans un terme, on sous-entend la sommation sur toutes les valeurs que peut prendre cet indice. Cet indice est dit muet. On le fait figurer une fois en position supérieure, une fois en position inférieure." ???
    Si on travaille dans un espace euclidien avec une base orthonormée, la montée/descente d'indice via la contraction avec la métrique devient invisible (la métrique est toujours représentée par la matrice identité). On ne se soucie plus de qui est vecteur ou covecteur, ni des indices haut ou bas. Perso je n'aime pas trop (ce n'est pas "propre" pour moi), mais on voit ça souvent.

    m@ch3
    Never feed the troll after midnight!

  15. #14
    Jon83

    Re : Ecriture tensorielle

    OK, ça devient plus clair!
    Merci à tous pour vos réponses
    Cordialement, Mikel

  16. #15
    jacknicklaus

    Re : Ecriture tensorielle

    Citation Envoyé par Jon83 Voir le message
    Je suis d'accord: jusque là c'est du niveau de terminale ! Mais juste après, il est écrit : "soit en notation tensorielle ...." et là, je comprends la traduction sur le terme x_i².Oméga_i , mais je ne comprends pas le terme x_i.x_k.Oméga_k : ok pour x_i, mais x_k.Oméga_k doit représenter le produit vectoriel r.Oméga qui est égal à x_1.Oméga_1+x_2.Oméga_2+x_3.Om éga_3 ....
    Donc la suite des deux indices k signifierait qu'il y a sommation pour k=1 à 3 ?
    La notation du LS est tout à fait claire :

    et

    en détaillant les sommes implicites : (xl² = xl.xl est aussi une somme implicite)



    On retrouve bien le produit scalaire (et non vectoriel comme tu le dis) :
    Dernière modification par jacknicklaus ; 27/03/2018 à 16h29.
    There are more things in heaven and earth, Horatio, Than are dreamt of in your philosophy.

  17. #16
    Jon83

    Re : Ecriture tensorielle

    Citation Envoyé par jacknicklaus Voir le message

    On retrouve bien le produit scalaire (et non vectoriel comme tu le dis) :
    Désolé , c'est une coquille .. je pensais bien produit scalaire!
    Dernière modification par Jon83 ; 27/03/2018 à 16h37.

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