Ecriture tensorielle

[Jon83]

Bonjour à tous!
J'ai l'expression vectorielle suivante (pj1) où les vecteurs sont écrits en caractère gras.
On me dit qu'elle s'écrit, en notations tensorielles de la façon suivante : (pj2).
Quelqu'un peut-il m'expliquer comment on choisit les indices: pour i, je comprends, mais pourquoi k?
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[gg0]

Bonjour.

C'est pas du tout clair !
Dans la première formule, la somme porte sur quoi ? Le symbole somme n'est-il pas de trop ?
Qui sont m, r et ? Et quelles sont les opérations en cause (le m( ) de la fin semble dire que m est une fonction) ?

Cordialement.

[Deedee81]

Salut,

Tel quel, ça m'a l'air faux. Mais d'où viennent ces formules, c'est qui "on" ?
J'aurais plutôt écrit les deux expressions sans les signes sommation (gg0 a raison, il y a une sommation de trop), et en utilisant la convention de sommation d'Einstein (somme sur les indices répétés) :



J'aurais pu utiliser i au lieu de k, mais j'ai mis un indice différent pour éviter toute confusion.
Ainsi la sommation sur i donne le carré de la norme du vecteur r, la sommation sur k donne le produit de r par omega.
Et j donne la jième composante du vecteur M.

[Deedee81]

Ah oui, il s'agit plutôt de notations vectorielles (à gauche) et en composantes (à droite).
Mais bon, tensoriel n'est pas faux

[A voir en vidéo sur Futura]

[Jon83]

Désolé de n'avoir pas été plus explicite....
1)On est dans l'espace R^3
2) m est une constante représentant la masse affectée à un point matériel
3) r est le rayon vecteur associé à un point et a pour composante x_1 , x_2 , x_3
4) Oméga est un vecteur (représentant la vitesse angulaire) et a pour composantes Oméga_1 , Oméga_2, Oméga_3
5) la somme porte sur tous les points du système, et peut donc être ignorée, ainsi que m ...

[Jon83]

Salut,

Tel quel, ça m'a l'air faux. Mais d'où viennent ces formules, c'est qui "on" ?
J'aurais plutôt écrit les deux expressions sans les signes sommation (gg0 a raison, il y a une sommation de trop), et en utilisant la convention de sommation d'Einstein (somme sur les indices répétés) :



J'aurais pu utiliser i au lieu de k, mais j'ai mis un indice différent pour éviter toute confusion.
Ainsi la sommation sur i donne le carré de la norme du vecteur r, la sommation sur k donne le produit de r par omega.
Et j donne la jième composante du vecteur M.

Merci pour vos réponses!
"on" ce sont Messieurs Landau et Lifchitz dans le tome 1 de leur célébrissimes ouvrage de Physique Théorique , tome 1 "Mécanique classique" page 145...
Comme quoi, même de célèbres physiciens peuvent être abscons dans leurs écritures mathématiques ...

[Deedee81]

D'accord, j'ai trouvé (page 106 troisième édition en anglais).

En fait, il y a juste eut confusion entre le L minuscule et le i.
Ils ont utilisés i pour ce que j'ai noté j.
Ils ont utilisés l pour ce que j'ai noté i.

C'est donc correct. A ceci près, qu'en effet, la sommation sur les points, ce n'est pas clair dans la notation.

[gg0]

J'ai le Landau-Lifchitz sous les yeux, il faut tout lire (et connaître le calcul vectoriel classique !! Et leur formulation n'est en rien absconse pour un physicien ou un mathématicien (même débutant, je lisais ça à 17 ans, en terminale - pour moi, hors programme).
Voici ce qui est écrit :

Ici, on comprend bien les opérations en cause, la notation en gras désignant les vecteurs (pas de tenseur ici) et le produit () étant le produit vectoriel, transformé ensuite en une différence de vecteurs, l'un produit de par un réel (carré scalaire), l'autre étant le produit du vecteur r par un produit scalaire (produit écrit à l'envers, les physiciens ne s'occupant pas de l'ordre d'écriture).
Et il n'y a plus qu'à examiner les composantes des deux vecteurs en cause ... et ne pas oublier la convention d'Einstein.

Cordialement

[Jon83]

J'ai le Landau-Lifchitz sous les yeux, il faut tout lire (et connaître le calcul vectoriel classique !! Et leur formulation n'est en rien absconse pour un physicien ou un mathématicien (même débutant, je lisais ça à 17 ans, en terminale - pour moi, hors programme).
Voici ce qui est écrit :

Ici, on comprend bien les opérations en cause, la notation en gras désignant les vecteurs (pas de tenseur ici) et le produit () étant le produit vectoriel, transformé ensuite en une différence de vecteurs, l'un produit de par un réel (carré scalaire), l'autre étant le produit du vecteur r par un produit scalaire (produit écrit à l'envers, les physiciens ne s'occupant pas de l'ordre d'écriture).
Et il n'y a plus qu'à examiner les composantes des deux vecteurs en cause ... et ne pas oublier la convention d'Einstein.

Cordialement

Je suis d'accord: jusque là c'est du niveau de terminale ! Mais juste après, il est écrit : "soit en notation tensorielle ...." et là, je comprends la traduction sur le terme x_i².Oméga_i , mais je ne comprends pas le terme x_i.x_k.Oméga_k : ok pour x_i, mais x_k.Oméga_k doit représenter le produit vectoriel r.Oméga qui est égal à x_1.Oméga_1+x_2.Oméga_2+x_3.Om éga_3 ....
Donc la suite des deux indices k signifierait qu'il y a sommation pour k=1 à 3 ?

[Deedee81]

même débutant, je lisais ça à 17 ans, en terminale - pour moi, hors programme).

Courageux. J'ai toujours trouvé les LS extrêmement arides (même si complet et excellents).
J'ai lu le LS sur l'électrodynamique quantique, et je dois dire que j'ai eut un peu de mal à arriver au bout.
Pour l'électrodynamique le plus lisible est Tanoudji puis excellent aussi Itzykson/Zuber et Nelipa.
Mais en mécanique classique je n'ai pas de bonne référence à conseiller car moi c'était justement au programme et donc j'ai eut une formation scolaire.

[gg0]

Jon83 :

Le x_kOméga_k suit la convention d'Einstein, c'est en fait une somme de produits, qui multiplie la composant x_i de r.
Pour ma part, c'est la suite que j'avais trouvée difficile à comprendre (et depuis plus de 50 ans, j'ai tout oublié ).

Cordialement.

[Jon83]

Jon83 :

Le x_kOméga_k suit la convention d'Einstein, c'est en fait une somme de produits, qui multiplie la composant x_i de r.
Pour ma part, c'est la suite que j'avais trouvée difficile à comprendre (et depuis plus de 50 ans, j'ai tout oublié ).

Cordialement.

Effectivement!
J'étais convaincu que cette règle s'appliquait lorsque le même indice était positionné en haut et en bas ...
Extrait de Wikipédia "Selon cette convention, quand l'indice d'une variable apparaît deux fois dans un terme, on sous-entend la sommation sur toutes les valeurs que peut prendre cet indice. Cet indice est dit muet. On le fait figurer une fois en position supérieure, une fois en position inférieure." ???

[mach3]

Effectivement!
J'étais convaincu que cette règle s'appliquait lorsque le même indice était positionné en haut et en bas ...
Extrait de Wikipédia "Selon cette convention, quand l'indice d'une variable apparaît deux fois dans un terme, on sous-entend la sommation sur toutes les valeurs que peut prendre cet indice. Cet indice est dit muet. On le fait figurer une fois en position supérieure, une fois en position inférieure." ???

Si on travaille dans un espace euclidien avec une base orthonormée, la montée/descente d'indice via la contraction avec la métrique devient invisible (la métrique est toujours représentée par la matrice identité). On ne se soucie plus de qui est vecteur ou covecteur, ni des indices haut ou bas. Perso je n'aime pas trop (ce n'est pas "propre" pour moi), mais on voit ça souvent.

m@ch3

[Jon83]

OK, ça devient plus clair!
Merci à tous pour vos réponses
Cordialement, Mikel

[jacknicklaus]

Je suis d'accord: jusque là c'est du niveau de terminale ! Mais juste après, il est écrit : "soit en notation tensorielle ...." et là, je comprends la traduction sur le terme x_i².Oméga_i , mais je ne comprends pas le terme x_i.x_k.Oméga_k : ok pour x_i, mais x_k.Oméga_k doit représenter le produit vectoriel r.Oméga qui est égal à x_1.Oméga_1+x_2.Oméga_2+x_3.Om éga_3 ....
Donc la suite des deux indices k signifierait qu'il y a sommation pour k=1 à 3 ?

La notation du LS est tout à fait claire :

et

en détaillant les sommes implicites : (xl² = xl.xl est aussi une somme implicite)



On retrouve bien le produit scalaire (et non vectoriel comme tu le dis) :

[Jon83]

On retrouve bien le produit scalaire (et non vectoriel comme tu le dis) :

Désolé , c'est une coquille .. je pensais bien produit scalaire!