Fonction réciproque de x^x

[leocarasso]

Bonjour. Dans un exercice, on me demande d'étudier la fonction x^x. Il faut d'abord trouver l'intervalle sur lequel elle réalise une bijection sur un intervalle (voir photo). Ensuite, et c'est là que je bloque, il faut montrer que sa fonction réciproque g(y) vérifie la propriété suivante : g(y)^g(y)=y
Mais là, je ne sais pas du tout comment faire. J'ai lu sur internet que la fonction réciproque de x^x dépendait de la fonction W de Lambert, mais nous n'avons pas du tout étudié cette fonction et par conséquent nous ne pouvons pas l'utiliser pour la résolution de cet exercice...
Merci d'avance pour votre aide
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[gg0]

Bonjour.

En attendant de voir ta pièce jointe ("en attente de validation"), je réponds sur la fonction réciproque. g est la réciproque de f si y=f(x) est équivalent à (dit exactement la même chose que) x=g(y). Donc si y=f(x)=x^x, en remplaçant x par g(y) tu as tout de suite le résultat.
A priori, je ne devrais pas avoir à te rappeler la définition de la fonction réciproque, c'est à toi de le savoir (d'apprendre tes leçons). Et en le sachant, tu aurais dû voir tout de suite cette évidence.

Cordialement.

[leocarasso]

Il y a une erreur sur ma pièce jointe (j'ai écrit un ln(0)). Effectivement c'est évident...
Merci beaucoup !

[jacknicklaus]

Ben, si y = f(x) = x^x, par construction (sur l'intervalle de définition qui va bien) la réciproque G vérifie x = g(y).
Suffit de remplacer...


[edit]
bon, je suis comme les carabiniers, arrivé en retard...

[A voir en vidéo sur Futura]

[Merlin95]

Si y= f(x) = x^x, la fonction réciproque vérifie g(y) = x, g(f(x)) = x, g(x^x) = x

Et ensuite ? Je vois pas comment en déduire g.

[Merlin95]

Ha mince, je n'avais pas vu qu'il s'agissait de montrer une égalité et non de calculer la fonction réciproque.