Le résultat n'est vrai que dans un espace séparé.
Dans ce cas, si est compact et si est un élément du complémentaire de , en séparant de chacun des points de , on obtient un recouvrement ouvert du compact, dont un sous-recouvrement fini permet de construire un voisinage de contenu dans le complémentaire de .
14/04/2018, 17h25
#3
Tryss2
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Re : Question en topologie
Soit K un compact d'un espace E
Soit p un point n'appartenant pas à K
Pour tout x dans K, il existe deux ouverts et tel que (car E est séparé)
Alors les forment un recouvrement ouvert de K.
Est-ce que tu vois comment construire (à l'aide de la compacité de K) un voisinage ouvert de p tel que ? Ça montrerai que p n'est pas un point d'accumulation de K. Ainsi tout les points d'accumulation de K sont dans K et donc K est fermé.
Edit : grillé par God's Breath. Ceci dit, petite remarque, en France, les compacts sont généralement séparés par définition (T2 Hausdorff ), là ou les anglo-saxons, ça n'est pas souvent le cas. Pour la plupart des auteurs :
Quasi-compact en Français = Compact en anglais
Compact en Français = Compact séparable en anglais
Dernière modification par Tryss2 ; 14/04/2018 à 17h29.
14/04/2018, 17h36
#4
invite57a1e779
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Re : Question en topologie
Envoyé par Tryss2
Ceci dit, petite remarque, en France, les compacts sont généralement séparés par définition
Je n'ai pas parlé de la séparation du compact, mais de la séparation de l'espace ambiant ; certains sous-espaces d'un espace non séparé peuvent être des sespaces séparés.
Il me semble que, dans un espace E non séparé, une partie K compacte (séparée) peut ne pas être fermée, mais je n'ai pas de référence pour un contre-exemple.
Aujourd'hui
A voir en vidéo sur Futura
14/04/2018, 18h01
#5
0577
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Re : Question en topologie
Bonjour,
Envoyé par God's Breath
Il me semble que, dans un espace E non séparé, une partie K compacte (séparée) peut ne pas être fermée, mais je n'ai pas de référence pour un contre-exemple.
Un intervalle réel compact avec un "point double" devrait faire l'affaire.
14/04/2018, 18h23
#6
minushabens
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Re : Question en topologie
E={a,b,c} T={vide,{a,b},{c},E}
toute partie de E est compacte puisqu'il n'y a qu'un nombre fini d'ouverts, mais {a} n'est pas fermé.