Question en topologie

[Leond95]

Bonjour a tous,

J'ai une question en topologie:

Comment démontrer que tout compact est fermé

Merci d'avance.
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[invite57a1e779]

Bonjour,

Le résultat n'est vrai que dans un espace séparé.
Dans ce cas, si est compact et si est un élément du complémentaire de , en séparant de chacun des points de , on obtient un recouvrement ouvert du compact, dont un sous-recouvrement fini permet de construire un voisinage de contenu dans le complémentaire de .

[Tryss2]

Soit K un compact d'un espace E

Soit p un point n'appartenant pas à K

Pour tout x dans K, il existe deux ouverts et tel que (car E est séparé)


Alors les forment un recouvrement ouvert de K.

Est-ce que tu vois comment construire (à l'aide de la compacité de K) un voisinage ouvert de p tel que ? Ça montrerai que p n'est pas un point d'accumulation de K. Ainsi tout les points d'accumulation de K sont dans K et donc K est fermé.


Edit : grillé par God's Breath. Ceci dit, petite remarque, en France, les compacts sont généralement séparés par définition (T2 Hausdorff ), là ou les anglo-saxons, ça n'est pas souvent le cas. Pour la plupart des auteurs :

Quasi-compact en Français = Compact en anglais
Compact en Français = Compact séparable en anglais

[invite57a1e779]

Ceci dit, petite remarque, en France, les compacts sont généralement séparés par définition

Je n'ai pas parlé de la séparation du compact, mais de la séparation de l'espace ambiant ; certains sous-espaces d'un espace non séparé peuvent être des sespaces séparés.

Il me semble que, dans un espace E non séparé, une partie K compacte (séparée) peut ne pas être fermée, mais je n'ai pas de référence pour un contre-exemple.

[A voir en vidéo sur Futura]

[0577]

Bonjour,

Il me semble que, dans un espace E non séparé, une partie K compacte (séparée) peut ne pas être fermée, mais je n'ai pas de référence pour un contre-exemple.

Un intervalle réel compact avec un "point double" devrait faire l'affaire.

[minushabens]

E={a,b,c} T={vide,{a,b},{c},E}

toute partie de E est compacte puisqu'il n'y a qu'un nombre fini d'ouverts, mais {a} n'est pas fermé.