question de topologie

[invite0d9b859e]

Bonjour,

Est-ce que le produit cartésien d'un ouvert et d'un fermé implique que la partie est ni ouverte ni fermée, ou est-ce qu'on ne peut rien en déduire?

Merci d'avance
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[invite899aa2b3]

Rien en déduire en général : que dire si la topologie des deux espaces est discrète ?

[invite0d9b859e]

Euh, topologie discrète, j'ai pas encore vu ça!
Ceci dit, le plus souvent, c'est la cas, non?
Par exemple A={(x,y) R², 0<x<1,0<=y<=1} n'est ni ouvert ni fermé?

Merci de ton aide

[invite899aa2b3]

Je suis d'accord pour ton exemple.
Après, pour "le plus souvent c'est le cas" je ne peux pas dire, ça dépend par ce tu entends par souvent.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite0d9b859e]

Je pensais que si ,..., p ouverts de R, et ,..., n-p fermés de R, alors le produit cartésien *...***...* n'est ni un ouvert ni un fermé de ???
Si ce n'est pas le cas, aurais-tu un exemple à ma proposer?
Je raisonne en fait beaucoup sur R² pour avoir une représentation graphique et dans ce cas on voit bien (ou peut-être je suis seul à le voir et je me plante) que si x appartient à un intervalle ouvert et y à un intervalle fermé, alors le produit cartésien des deux est une partie ni ouverte ni fermée de R². A partir de ça, je pensais que c'était le cas sur .

[invite00970985]

Même dans R², tu peux trouver des contres-exemples :
A=[0,1], est fermé
B=IR est ouvert
Mais ... AxB est le segment [0,1] dans R², et donc fermé ...

Autre exemple (un peu malhonnête, j'en consens):
A=ø est ouvert
B=[0,1] est fermé
mais ... AxB = ø qui est ouvert

Tu me diras que les exemples sont pas très bons, car dans les 2 cas, je considère des situations extrèmes (ø et IR) ... et pour IR², effectivement, je ne sais pas si en dehors de ces exemples, on peut trouver des A fermé et B ouvert tq AxB ne soit ni l'un ni l'autre.

Par contre, pour reprendre l'exemple de Gidav, si tu considère la distance discrète (d(x,y)=1 si x!=y et d(x,y)=0 si x=y), eh bien toutes les sous parties de ton ensemble sont à la fois ouvertes et fermées ; ta question est donc caduque

[invite00970985]

Edit : au lieu de " et pour IR², effectivement, je ne sais pas si en dehors de ces exemples, on peut trouver des A fermé et B ouvert tq AxB ne soit ni l'un ni l'autre. ", lire "et pour IR², effectivement, je ne sais pas si en dehors de ces exemples, on peut trouver des A fermé et B ouvert tq AxB soit l'un ou l'autre"

[invite0a963149]

Même dans R², tu peux trouver des contres-exemples :
A=[0,1], est fermé
B=IR est ouvert
Mais ... AxB est le segment [0,1] dans R², et donc fermé ...

Farceur : AxB est ouvert, quand tu veux je te trouve une suite d'éléments de ton AxB qui diverge : au pif (1/2,exp(n!^(n^2))) (je la fait diverger vite sinon c'est pas drole)

Autre exemple (un peu malhonnête, j'en consens):
A=ø est ouvert
B=[0,1] est fermé
mais ... AxB = ø qui est ouvert

Refarceur, l'ensemble vide n'est ni ouvert ni fermé (aucune définition d'ouvert ou de fermé ne s'applique a ce vide)

Donc je ne sais pas du tout si le produit cartésien d'un ouvert et d'un fermé est ouvert, fermé, les 2 ou aucun des deux, mais en tout cas, l'intuition me dirai ni l'un ni l'autre, en tout cas en dimension finie (j'arrive pas a me représenter plus loin que dimension 138)

[invite00970985]

Farceur : AxB est ouvert, quand tu veux je te trouve une suite d'éléments de ton AxB qui diverge : au pif (1/2,exp(n!^(n^2))) (je la fait diverger vite sinon c'est pas drole)

Certes, cette suite diverge ... et alors ? Etre fermé ne veut pas dire que toute suite est convergente ...
EDIT : mon AxB n'est pas le segment [0,1], mais plutôt la bande [0,1]xR², comme chacun l'aura compris ...

Refarceur, l'ensemble vide n'est ni ouvert ni fermé (aucune définition d'ouvert ou de fermé ne s'applique a ce vide)

Suis-je vraiment obligé de répondre ou tu peux ouvrir wikipédia tout seul ?

[invite00970985]

Après réflexion, effectivement, dans R², si on considère A fermé et B ouvert, à part si on prend A ou B dans {ø,IR}, AxB n'est ni ouvert ni fermé.

Petite démonstration :
[spoiler]

Soit A fermé, B ouvert et AxB ouvert. Nous allons montrer que A est fermé ; ainsi A sera ouvert et fermé dans IR, donc par connexité de IR, A=ø ou A=IR.

Si on suppose AxB ouvert, avec les mêmes hypothèses :
Soit b un élément de B (s'il n'y a aucun élément dans B, alors B=ø et la question est réglée), considérons f :IR -> AxB définie par f(x)=(x,b). f est bien continue. On a alors A=f^-1(AxB), et A est l'image réciproque d'un ouvert par une application continue, donc A est ouvert.

Pour AxB fermé, avec le même raisonnement, on a que B est fermé.
[/spolier]

[invite57a1e779]

Bonjour,

On a le résultat suivant : dans un espace produit, un sous-ensemble AxB est ouvert (resp. fermé) si, et seulement si A et B sont tous deux ouverts (resp. fermés) dans les espaces facteurs du produit.

[invite0d9b859e]

Ok, merci pour vos réponses.
Euh, dans mon cours, j'ai IR et ensemble vide qui sont à la fois ouverts et fermés??? Alors, qui a raison?

En tout cas merci à tous.

[invite57a1e779]

IR et ensemble vide qui sont à la fois ouverts et fermés

C'est vrai. Où est le problème ? N'aurait-on pas le droit d'assumer les deux propriétés ?

[invite0a963149]

Certes, cette suite diverge ... et alors ? Etre fermé ne veut pas dire que toute suite est convergente ...

Je vais te réciter mon cours de topologie de cette année :
Un ensemble F est dit fermé sssi toute suite (Un) d'éléments de F converge vers un élément de F (évidemment pas la seule définition qui existe, mais elle est bien pratique)

Or on peut trouver une suite d'éléments de [0,1]xIR qui diverge, donc j'ai bien trouvé 1 suite d'éléments dans ton ensemble qui ne converge pas vers un élément de l'ensemble ...

Suis-je vraiment obligé de répondre ou tu peux ouvrir wikipédia tout seul ?

D'après un petit théorème de mon cours, le complémentaire d'un ouvert est un fermé et vice versa, le complémentaire de l'ensemble vide dans IR² est IR² lui-même, donc l'ensemble vide est déjà au moins ouvert, ensuite l'intersection finie de deux fermés est fermée, l'intersection de [-1,0]xIR et de [0,00000001]xIR est donc fermée, et c'est l'ensemble vide

l'ensemble vide serait donc fermé aussi ? Curieux, il me semblait bien que c'était ce qui faisait la spécificité de l'ensemble vide ...

Et IR est toujours ouvert jusqu'a preuve du contraire ...

[invite00970985]

Je vais te réciter mon cours de topologie de cette année :
Un ensemble F est dit fermé sssi toute suite (Un) d'éléments de F converge vers un élément de F (évidemment pas la seule définition qui existe, mais elle est bien pratique)

Soit ton cours est mauvais, soit tu l'as mal recopié (je penche plus vers la 2eme solution ). F est fermé dans X ssi pour toute suite (Un) d'éléments de F convergeant vers un élément x de X, alors x est dans F. La suite que tu me donnes n'est absolument pas convergente dans IR², donc on ne peut rien dire !

D'après un petit théorème de mon cours, le complémentaire d'un ouvert est un fermé et vice versa, le complémentaire de l'ensemble vide dans IR² est IR² lui-même, donc l'ensemble vide est déjà au moins ouvert, ensuite l'intersection finie de deux fermés est fermée, l'intersection de [-1,0]xIR et de [0,00000001]xIR est donc fermée, et c'est l'ensemble vide

l'ensemble vide serait donc fermé aussi ? Curieux, il me semblait bien que c'était ce qui faisait la spécificité de l'ensemble vide ...

Et IR est toujours ouvert jusqu'a preuve du contraire ...

Et oui, ø est ouvert et fermé, et ce pour toutes les topologie !

En fait vu que c'est l'ensemble vide, tu peux en dire à peu près n'importe quoi. Par exemple, X ouvert ça veut dire :
pour tout x dans X on peut trouver une boule B suffisamment petite tq B est incluse dans X.
Si X = ø ... prenons un élément dedans ... ah, ben y en a pas ! donc la propriété est vérifiée !
(évidemment, cela marche pour toutes les propriétés commençant par "pour tout x dans X, ..." ; si tu as une propriété qui commence par "il existe x dans X tq ..." elle sera toujours fausse si X=ø ;p)

[invite14e03d2a]

Un ensemble F est dit fermé sssi toute suite (Un) d'éléments de F converge vers un élément de F (évidemment pas la seule définition qui existe, mais elle est bien pratique)

Avec cette définition, et les bonnes propriétés de séparation sur X (unicité de la limite), les ensembles de plus de deux points ne sont pas fermés. C'est assez restrictif

[invite0a963149]

Waw je viens de me rendre compte que j'ai compris de travers tout une partie de mon cours, merci de m'avoir fait réviser mon jugement

Donc en fait toute partie "infinie" (en gros toute partie du style de la bande IxIR) est fermée ... si je comprends bien.
J'ai du mal a le concevoir mais bon je l'accepte ^^

Merci, et ciao

[invite14e03d2a]

Non, un ensemble infini peut être fermée ou ouvert ou les deux ou rien du tout

Exemple:
1) dans (muni de la topologie usuelle), est fermé.
2) un intervalle ouvert de est ouvert.
3) Dans (muni de la topologie produit)), est fermé et ouvert.
4) Dans , n'est ni fermé ni ouvert.

Bien sûr, dans un espace topologique où tous les points sont fermés (espace T₁), alors un ensemble fini est fermé.