Question d'algèbre linéaire à propos de l'orthogonalité.

[invitee95468bf]

Bonjour,
J'ai une question de math. J'aimerai savoir SVP. pourquoi l'orthogonal de l'orthogonal d'un sous espaces vectoriel préhilbertien réel de cardinal infini n'est pas forcément égal à ce sous espace vectoriel? (Les espaces, préhilbertien, euclidien et les espace orthogonal sont des notion nouvel pour moi. Je les ai appris hier dans une vidéo YouTube).
Merci d'avance pour vos réponses.

[invite23cdddab]

Je pense que tu veux parler de dimension infinie, et non de cardinal infini ( Tout les espaces vectoriels réels sont de cardinal infini)

Une façon de voir, c'est que l'orthogonal d'un sous espace vectoriel est un fermé, or tout les sous espaces vectoriels ne sont pas fermé en dimension infinie.

La propriété utile ici c'est "une forme linéaire est continue si et seulement si son noyaux est fermé"


L'orthogonal d'un sev peut être vu comme une intersection de noyaux de formes linéaires continues : il est donc fermé

En effet, si on considère la forme linéaire alors est continue, et son noyau est fermé

Or , donc une intersection de fermés, donc un fermé.



Il existe des formes linéaires non continues en dimension infinie :

Comme E est de dimension infinie, il existe une famille libre dénombrable avec

On considère F l'espace vectoriel engendré par cette famille, et G un supplémentaire de F

Alors la forme linéaire L définie par

et

n'est pas continue, puisque non bornée sur la boule unité.

Donc n'est pas fermé

[invitee95468bf]

Merci pour votre réponse. Je croi qu'il y'a encore des notion que je doit aprendre(pour comprendre la reponse)