Convergence d'une suite avec des nombres premiers

[Meiosis]

Bonsoir,

J'ai une somme infinie :

À chaque fois au dénominateur j'ajoute le nombre premier qui suit donc et par exemple.

Je cherche à savoir vers quoi une telle suite convergerait. Vu qu'on ne connaît pas la répartition des nombres premiers on ne peut pas répondre précisément je pense donc j'avais pensé à donner une approximation en étudiant car le n-ième nombre premier noté peut être approximé par

Si on obtient une convergence en étudiant ceci alors on pourra dire que la convergence obtenue avec la suite en prenant les nombres premiers sera forcément inférieure à celle obtenue en étudiant la suite avec l'approximation car pour tout n entier naturel non nul.

On pourrait aller plus loin en donnant des encadrements pour la convergence quand n tend vers l'infini en considérant les encadrements de Dusart.

Est-ce que le raisonnement est correct ?

Merci et bonne soirée.
-----

[invite57a1e779]

Je cherche à savoir vers quoi une telle suite convergerait.

Je pense que, à l'instar , , , etc., cette limite ne s'exprime pas par une formule close à l'aide des fonctions usuelles.

La convergence est lente : le reste me semble être en . Il doit être possible de l'accélérer, mais il va certainement être difficile d'obtenir de bonnes » approximations.

[invite452d5a24]

Bonjour,

Je cherche à savoir vers quoi une telle suite convergerait.

Je comprends ta question, mais je ne pense pas que cela soit la bonne question, en quoi cela t'avancerait-il de savoir que c'est égale à l'exponentielle de pi, par exemple, ou même pi, si ce n'est à la rapprocher de quantité déjà connu.

Je pense que la bonne question à se poser, est :
existe-t-il un algorithme qui me permette de calculer la niem décimale de ce nombre ?

Et selon la complexité de la méthode dont on dispose, cela rendra plus ou moins connu ce nombre, avec un nombre bien connu, étant un nombre dont on peut calculer la niem décimal en un temps logarithmique : O(ln(n)).

Bonne journée.

[azizovsky]

elle est inférieure à : 1/2+1/4+1/9+1/16+1/25+.....=pi²/6-1/2

[A voir en vidéo sur Futura]