Questions

[invite70484460]

Bonjour, préparant un partiel, je dois être capable de répondre à des Vrai/Faux avec justification
1) Si l₁ et l₂ sont deux formes quadratiques sur R³, alors q(x) = l₁(x)l₂(x) définit une forme quadratique, et q est dégénérée.
(2) a/ Soit q une forme quadratique sur E. La somme de deux vecteurs isotropes de q est un vecteur isotrope
b/ si q(x) > 0 et q(y) > 0 alors q(x + y) > 0.

Je pense que la 1) est vrai, que le produit de deux formes quadratiques est une forme quadratique mais je n'arrive pas à le prouver. Je ne sais pas non plus si elle est dégénérée...
Pour la 2), auriez-vous des contre-exemples à me donner s'il vous plaît ?

Je joins également d'autres questions que nous devons démontrer...

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[invite57a1e779]

[QUOTE=mtmt3;6136469]Si l₁ et l₂ sont deux formes quadratiques sur R³, alors ... /QUOTE]

Bonjour,

Si et sont des formes quadratiques alors n'est pas une forme quadratique

Mais je pense que et sont plutôt des formes linéaires (vu leurs noms...), auquel cas est une forme quadratique, dégénérée puisqu'elle s'annule sur la réunion des noyaux de et ; on peut aussi écrire :



égalité qui prouve que est de rang au plus 2.

Pour la question 2, je considère sur la forme quadratique définie par : (la plus simple des formes quadratiques ni positive, ni négative).

Alors : donc et sont deux vecteurs isotropes, mais leur somme ne l'est pas puisque : .

Pour cette même forme quadratique : , mais .

Pour les questions en pièces jointes, il s'agit de simples questions de cours qui se résolvent en utilisant les seules définitions.
Par exemple la question 1 est la propriété fondamentale de la projection orthogonale de sur .