Bonjour,
Je n'arrive pas à comprendre comment écrire la matrice d'une application polynomiale (je bloque quand il faut calculer f(1), f(X), ...)
Un exemple pris d'internet :
f : Rn[X] -> Rn[X]
P(X) -> P(X+1) + P(X-1) - 2P(X)
Comment obtient-on f(1), f(X), f(X^2), f(X^3) ?
J'ai déjà les réponses mais je ne comprend pas comment on y parvient.
Pour f(1), je comprends qu'il faut remplacer P(X) par 1 mais lorsqu'on a P(X+1) devant soi, que fait-on ? De la même manière pour X, X^2.. ?
Bonjour,
ton endomorphisme est donné par f(P(X))=P(X+1)+P(X-1)-2P(X).
Si P(X)=1, alors P(X+1)=1 et P(X-1)=1, il suffit de replacer X par X+1 ou par X-1 suivant les cas, bon ici il n'y a pas de X donc c'est assez évident... Je te laisse calculer f(P(X)) dans ce cas là.
Si P(X)=X, alors P(X+1)=X+1 et P(X-1)=X-1, de même calcule f(P(X)).
Si P(X)=X², alors P(X+1)=.... et P(X-1)=... puis calcule f(P(X)).
Puis essaie de le faire dans un cas général, bon courage.
Merci pour la réponse et pour l'explication détaillée, ça m'a totalement débloqué. Bonne soirée et merci encore
Bonjour, j'ai encore une question à ce sujet donc je me permet de poster ici :
Cette fois-ci, j'ai cette application f de R3[X] sur R3X[X] tel que f(P) = a0 + (a0+a1)X + (a0+a1+a2)X² + (a0+a1+a2+a3)X^3
et où P = a0 + a1X + a2X² + a3X^3
On me demande la matrice associée à f dans la base canonique 1,X,X²,X^3
Donc avant, on doit calculer f(1), f(X), f(X²), f(X^3), or c'est assez différent dans ce cas que dans le cas où on avait f(P(X))=P(X+1)... et je m'emmêle les pinceaux.
Mon professeur a directement trouvé que :
f(1) = 1+X+X^2+X^3
f(X) = X+X^2+X^3
f(X^2) = X^2+X^3
f(X^3) = X^3
Bonsoir
Commençons par f(1). 1 correspond au polynôme P tel que a0=1, et où tous les autres coefficients sont nuls. Donc f(1)=1+(1+0)X+(1+0+0)X^2+(1+0+ 0+0)X^3=1+X+X^2+X^3.
De même, X correspond au polynôme P pour lequel a1=1 et dont tous les autres coefficients valent 0. Donc f(X)=X+X^2+X^3.
Et en continuant ainsi, on retrouve bien les résultats que vous avez donnés à la fin de votre message.
En espérant avoir été clair.
Bonne soirée
Dernière modification par henryallen ; 16/05/2018 à 21h19.
Merci beaucoup !!
