serie d'integrale

[invite03ef28af]

Bonjour, voici mon problème:
Trouver un condition sur a>0 tel que la serie de terme general
converge

je ne vois pas du tout comment faire, j'ai essayé de calculer l'integrale pour en trouver un équivalent mais je n'y arrive pas,
j'ai essayé d'appliquer le theoreme de permutation de somme et integrale mais de meme je n'y arrive pas.

Des idées ?
Merci
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[albanxiii]

Bonjour,

La première qui me vient c'est d'encadrer cette intégrale (l'intégrande est facile à encadrer), je pense qu'on doit pouvoir trouver un équivalent en fonction de n assez facilement (et comme la série est à termes positifs, etc.).
Sinon, un changement de variable règle son compte au sin^2, mais reste le x.

[invite03ef28af]

on peut en effet minoré par 1/(1+x^(a/2)) et majorée par 1/(x^(a/2)sin(x)²) mais je ne vois toujours pas ou ca mene,
pour le minorant c'est quelque chose en arctan avec le changement de variable u=x^(a/40) et pour le minorant des ipp devrait faire l'affaire ?

[invite51d17075]

Il me vient la direction suivante.

chgt de variable t=x-npi, d'où

car sin²(x)=sin²(t) quelle soit la parité de n.
pour n grand t est négligeable devant npi , donc je prend un équivalent vn de un

dont on peut trouver l'intégrale ( avec l'ami wolfram je l'avoue s'il ne me dit pas de bêtises )

formule avec laquelle on doit pouvoir conclure.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite51d17075]

car on se retrouve avec un autre équivalent du type C/n^k​ , avec k qui dépend de a

[fartassette]

Bonjour, Ansset


Avant de prendre cette direction, vous avez en amont remarqué ceci: supposons alors on peut écrire pour



or, .


n 'est pas intégrable en .Donc la fonction n'est pas intégrable sur


*J'ai oublié de préciser au début que ttes les fonctions sont continues et positive, qu'on peut alors appliquer le théorème de comparaison.

supposons alors vôtre raisonnement découle à partir de cette étape? Je peux me tromper Ansset car je n 'ai jamais traitée ce type d'éxercice .D'ailleurs pour le moment, j 'analyse attentivement vos calculs et essaie de comprendre les cheminements .Une autre question qui porte sur la conclusion.Je suis tentée de répondre que la condition de convergence est pour


car on en déduit ,


ce n 'est pas demandé , divergente si

Je me trompe peut être..


Cordialement,

[invite51d17075]

Avant de prendre cette direction, ..........

Pourquoi est ce nécessaire ?
Dans ma démarche , je ne me suis pas posé la question, j'ai simplement cherché à répondre à la question de l'énoncé. à savoir trouver les conditions d'une convergence, sans passer par l'exclusion des cas de divergence !

.Une autre question qui porte sur la conclusion.Je suis tentée de répondre que la condition de convergence est pour

c'est bien la conclusion à laquelle j'arrive en trouvant un équivalent en plusieurs étapes.

[invite51d17075]

En revanche, pour retrouver cette intégrale "à la main" ça a l'air plus "coton"
tout ce que je trouve ( "à la main" est pour une cste c )

On peut aussi décomposer l'intégrale en

et retrouver au numérateur du résultat par "prolongation" ? ( lim atan( en+l'inf)= dans le domaine considéré )
c'est mal dit, mais je pense que vous comprenez.

[invite51d17075]

d'où le résultat

ce qui donne évidement un résultat
convergent si a>4

[invite51d17075]

Ma démarche te semble t elle correcte ?

[fartassette]

Bonsoir,

Désolée pour cette réponse tardive.
J'étudie de très près cette intégrale de Riemann,le fait que l'intégrande dépend du paramètre complique les choses.J'ai réussie à démontrer celle que vous citez en effectuant un double changement de variable .




Premier changement de variable :






donc



soit donc


second changement de variable





donc

Donc ça coïncide bien pour le moment

Une piste ( sans conviction)
En ce qui concerne ce en facteur, j 'ai fait le choix de choisir le segment j 'ai posé j obtiens une intégrale généralisée :



Cordialement,

[fartassette]

Cette piste peut sembler intéressante ,le seul point négatif c 'est la modification des bornes!Je ne sais si on a le droit de prendre cette liberté.

je détaille d 'avantage l'idée en proposant tout d 'abord un encadrement





je me ramène àL'intégrale généralisée :



je déduis les deux équivalences : et



Qu'en pensez vous Ansset?

[invite51d17075]

Pardon, je suis en ce moment assez fatigué physiquement.
mais mon pots #8 n'était il pas suffisant ?
tout ce que tu développes ensuite me semble juste, mais bien compliqué à suivre.

le coté heureux est qu'on aboutisse à la même conclusion

[fartassette]

Bonjour Ansset

J'ai voulu retrouver ce du post #8# d'une autre façon .D'ailleurs je me suis beaucoup inspiré de celui ci pour construire le précédent.


pour en choisissant alors

en fixant et alors l'intégrale converge vers


Merci, bon courage