exponentielle de matrices

[invite270c37bc]

Bonjour,

je voulais savoir qu'elles étaient les applications et quand on se servait des exponentielles de matrices. Par ailleurs, existe-t-il d'autres séries entières intéressantes de matrices ?

merci!
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[mach3]

Exemples intéressants,
quand on prend l'exponentielle de la matrice ((0 -x)(x 0)) on obtient la matrice de rotation ((cos x -sin x)(sin x cos x))
du même tonneau, l'exponentielle de ((0 x)(x 0)) donne la matrice de rotation hyperbolique ((ch x sh x)(sh x ch x))

m@ch3

[gg0]

Bonjour Sleinininono.

Va voir la résolution des systèmes différentiels linéaires (et aussi les équations aux différences).

Cordialement.

[invite270c37bc]

oh exemple super intéressant ! Est ce que cela a un lien avec l'exponentielle complexe?

pour la résolution d'equa diff linéaire je vois j'ai mes cours dessus ainsi que les livres . Les équations aux différences ( je vois ça http://www.bibmath.net/dico/index.ph...fferences.html ) c'est chercher une expression générale d'une suite à partir d'une relation de récurrence à forme linéaire ? je savais pas que ça s’appelait comme ça. Et on peut donc utiliser la même méthode où la solution sera exp(nA) ?

merci

[A voir en vidéo sur Futura]

[mach3]

oh exemple super intéressant ! Est ce que cela a un lien avec l'exponentielle complexe?

Si la matrice identité est vue comme le 1, alors la matrice ((0 -1)(1 0)) peut être vue comme l'unité imaginaire pur. Son carré donne ((-1 0)(0 -1)), l'opposé de l'identité, qu'on peut voir comme le -1. Du coup l'exponentielle de ((0 -x)(x 0)) peut être vu comme exp(ix). En effet, ((cos x -sinx)(sin x cos x)) = cos x ((1 0)(0 1)) + sin x ((0 -1)(1 0)), qu'on peut voir comme cos x + i sin x.

Oui, c'est puissant. Toutes les identités trigo sont planqués de dedans!

d'une manière générale, à un complexe a+ib, il correspond une matrice ((a -b)(b a))

m@ch3

[Deedee81]

Bonjour,

On utilise pas mal l'exponentielle matricielle dans la théorie des groupes matriciels (proche des groupes de Lie).
On en parle ici : https://en.wikipedia.org/wiki/Matrix_exponential (mais aussi des autres applications citées ci-dessus).

[albanxiii]

Bonjour,

Ça sert aussi à faire des exercices et problèmes calculatoires pour les étudiants / examens

[Deedee81]

Ça sert aussi à faire des exercices et problèmes calculatoires pour les étudiants / examens

Ah tiens, marrant, moi j'ai jamais eut ça. En tant qu'ingénieur, les matrices, y en a dans tous les coins. Mais rarement exponentiées, sans doute parce que ça ferait des ponts trop grands

[invite9dc7b526]

Par ailleurs, existe-t-il d'autres séries entières intéressantes de matrices ?!

la série 1+A+A^2+A^3+... qui est l'inverse de 1-A (si 1 est la matrice identité). Il faut bien entendu se préoccuper de convergence, donc de norme matricielle, etc.

[stefjm]

Va voir la résolution des systèmes différentiels linéaires (et aussi les équations aux différences).

En complément : représentation d'état des systèmes physiques
https://fr.wikipedia.org/wiki/Repr%C..._d%27%C3%A9tat

et plus généralement des exponentielles map (application exponentielle) : https://en.wikipedia.org/wiki/Exponential_map

[stefjm]

je voulais savoir qu'elles étaient les applications et quand on se servait des exponentielles de matrices. Par ailleurs, existe-t-il d'autres séries entières intéressantes de matrices ?

Au moins le logarithme pour d'évidentes raisons :
https://fr.wikipedia.org/wiki/Logari...%27une_matrice

[albanxiii]

Re,

Ah tiens, marrant, moi j'ai jamais eut ça. En tant qu'ingénieur, les matrices, y en a dans tous les coins. Mais rarement exponentiées, sans doute parce que ça ferait des ponts trop grands

En fait, en prépa ça sert d'alibi à faire diagonaliser une matrice surtout ("vous voyez, ça sert bien à quelque chose !").

Plus sérieusement et en rapport avec ce que mach3 a posté : Un peu de culture mathématique sur les groupes de Lie et l'exponentielle.

[Deedee81]

Salut,

Pour l'usage avec les groupes, il y a aussi cette excellente introduction aux groupes de Lie matriciels.
https://arxiv.org/abs/math-ph/0005032
L'application exponentielle (matricielle) y est fort bien présentée.