exponentielle de matrices
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exponentielle de matrices



  1. #1
    sleinininono

    exponentielle de matrices


    ------

    Bonjour,

    je voulais savoir qu'elles étaient les applications et quand on se servait des exponentielles de matrices. Par ailleurs, existe-t-il d'autres séries entières intéressantes de matrices ?

    merci!

    -----

  2. #2
    mach3
    Modérateur

    Re : exponentielle de matrices

    Exemples intéressants,
    quand on prend l'exponentielle de la matrice ((0 -x)(x 0)) on obtient la matrice de rotation ((cos x -sin x)(sin x cos x))
    du même tonneau, l'exponentielle de ((0 x)(x 0)) donne la matrice de rotation hyperbolique ((ch x sh x)(sh x ch x))

    m@ch3
    Never feed the troll after midnight!

  3. #3
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : exponentielle de matrices

    Bonjour Sleinininono.

    Va voir la résolution des systèmes différentiels linéaires (et aussi les équations aux différences).

    Cordialement.

  4. #4
    sleinininono

    Re : exponentielle de matrices

    oh exemple super intéressant ! Est ce que cela a un lien avec l'exponentielle complexe?

    pour la résolution d'equa diff linéaire je vois j'ai mes cours dessus ainsi que les livres . Les équations aux différences ( je vois ça http://www.bibmath.net/dico/index.ph...fferences.html ) c'est chercher une expression générale d'une suite à partir d'une relation de récurrence à forme linéaire ? je savais pas que ça s’appelait comme ça. Et on peut donc utiliser la même méthode où la solution sera exp(nA) ?

    merci

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    mach3
    Modérateur

    Re : exponentielle de matrices

    oh exemple super intéressant ! Est ce que cela a un lien avec l'exponentielle complexe?
    Si la matrice identité est vue comme le 1, alors la matrice ((0 -1)(1 0)) peut être vue comme l'unité imaginaire pur. Son carré donne ((-1 0)(0 -1)), l'opposé de l'identité, qu'on peut voir comme le -1. Du coup l'exponentielle de ((0 -x)(x 0)) peut être vu comme exp(ix). En effet, ((cos x -sinx)(sin x cos x)) = cos x ((1 0)(0 1)) + sin x ((0 -1)(1 0)), qu'on peut voir comme cos x + i sin x.

    Oui, c'est puissant. Toutes les identités trigo sont planqués de dedans!

    d'une manière générale, à un complexe a+ib, il correspond une matrice ((a -b)(b a))

    m@ch3
    Never feed the troll after midnight!

  7. #6
    Deedee81
    Modérateur

    Re : exponentielle de matrices

    Bonjour,

    On utilise pas mal l'exponentielle matricielle dans la théorie des groupes matriciels (proche des groupes de Lie).
    On en parle ici : https://en.wikipedia.org/wiki/Matrix_exponential (mais aussi des autres applications citées ci-dessus).
    "Il ne suffit pas d'être persécuté pour être Galilée, encore faut-il avoir raison." (Gould)

  8. #7
    albanxiii
    Modérateur

    Re : exponentielle de matrices

    Bonjour,

    Ça sert aussi à faire des exercices et problèmes calculatoires pour les étudiants / examens
    Not only is it not right, it's not even wrong!

  9. #8
    Deedee81
    Modérateur

    Re : exponentielle de matrices

    Citation Envoyé par albanxiii Voir le message
    Ça sert aussi à faire des exercices et problèmes calculatoires pour les étudiants / examens


    Ah tiens, marrant, moi j'ai jamais eut ça. En tant qu'ingénieur, les matrices, y en a dans tous les coins. Mais rarement exponentiées, sans doute parce que ça ferait des ponts trop grands
    "Il ne suffit pas d'être persécuté pour être Galilée, encore faut-il avoir raison." (Gould)

  10. #9
    minushabens

    Re : exponentielle de matrices

    Citation Envoyé par sleinininono Voir le message
    Par ailleurs, existe-t-il d'autres séries entières intéressantes de matrices ?!
    la série 1+A+A^2+A^3+... qui est l'inverse de 1-A (si 1 est la matrice identité). Il faut bien entendu se préoccuper de convergence, donc de norme matricielle, etc.

  11. #10
    stefjm

    Re : exponentielle de matrices

    Citation Envoyé par gg0 Voir le message
    Va voir la résolution des systèmes différentiels linéaires (et aussi les équations aux différences).
    En complément : représentation d'état des systèmes physiques
    https://fr.wikipedia.org/wiki/Repr%C..._d%27%C3%A9tat

    et plus généralement des exponentielles map (application exponentielle) : https://en.wikipedia.org/wiki/Exponential_map
    Moi ignare et moi pas comprendre langage avec «hasard», «réalité» et «existe».

  12. #11
    stefjm

    Re : exponentielle de matrices

    Citation Envoyé par sleinininono Voir le message
    je voulais savoir qu'elles étaient les applications et quand on se servait des exponentielles de matrices. Par ailleurs, existe-t-il d'autres séries entières intéressantes de matrices ?
    Au moins le logarithme pour d'évidentes raisons :
    https://fr.wikipedia.org/wiki/Logari...%27une_matrice
    Moi ignare et moi pas comprendre langage avec «hasard», «réalité» et «existe».

  13. #12
    albanxiii
    Modérateur

    Re : exponentielle de matrices

    Re,

    Citation Envoyé par Deedee81 Voir le message
    Ah tiens, marrant, moi j'ai jamais eut ça. En tant qu'ingénieur, les matrices, y en a dans tous les coins. Mais rarement exponentiées, sans doute parce que ça ferait des ponts trop grands
    En fait, en prépa ça sert d'alibi à faire diagonaliser une matrice surtout ("vous voyez, ça sert bien à quelque chose !").

    Plus sérieusement et en rapport avec ce que mach3 a posté : Un peu de culture mathématique sur les groupes de Lie et l'exponentielle.
    Not only is it not right, it's not even wrong!

  14. #13
    Deedee81
    Modérateur

    Re : exponentielle de matrices

    Salut,

    Pour l'usage avec les groupes, il y a aussi cette excellente introduction aux groupes de Lie matriciels.
    https://arxiv.org/abs/math-ph/0005032
    L'application exponentielle (matricielle) y est fort bien présentée.
    "Il ne suffit pas d'être persécuté pour être Galilée, encore faut-il avoir raison." (Gould)

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