Une propriété de l'exponentielle avec les matrices.

[invitea5ab8741]

Bonjour,

Soit A une matrice carrée nilpotente.

On pose :

On me demande de prouver que si A et B sont nilpotentes et commutent; alors:

J'ai essayé par récurrence, mais ça bloque.

Help !
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[Tiky]

En fait il suffit de et commutent. Il n'est pas nécessaire qu'elles soient nilpotentes.



Et comme et commutent, on peut utiliser le binôme de Newton :


On obtient donc :

Tu utilises alors le produit de Cauchy.

[invitea5ab8741]

J'ai regardé sur internet ce qu'est le produit de Cauchy, et donc on obtient bien ce que l'on veut.
Mais sinon sans le produit de Cauchy, on peut faire autrement (car on n'a pas vu le produit de Cauchy en classe) ?

[Tiky]

J'ai regardé sur internet ce qu'est le produit de Cauchy, et donc on obtient bien ce que l'on veut.
Mais sinon sans le produit de Cauchy, on peut faire autrement (car on n'a pas vu le produit de Cauchy en classe) ?

Alors tu peux utiliser le fait qu'elles sont nilpotentes. Tu remarques que est en fait une somme finie puisqu'il existe un entier tel que , . Au lieu d'utiliser le produit de Cauchy, il te suffit d'appliquer la bonne veille règle de distributivité de la multiplication sur l'addition dans les sommes finies.

[A voir en vidéo sur Futura]