Graphe de mesure nulle

[invitec12bce47]

Bonjour à tous,

Je bloque sur un problème qui me demande de prouver que le graphe d'une fonction est négligeable (voir pièce jointe). Je précise qu'il s'agit de la mesure au sens de Jordan. Le critère de mon cours pour prouver qu'un ensemble est négligeable est qu'on peut recouvrir cet ensemble par un nombre fini de boîtes rectangulaires dont la somme des volumes est arbitrairement petite.
Pour cet exercice j'ai pensé à utiliser la continuité uniforme de f, mais j'ai du mal à formaliser tout ça. Auriez-vous une idée de comment faire ?

Merci d'avance.
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[invite23cdddab]

Je vais me placer dans le cas ou ta boite est , un simple changement de variable affine permettant de s'y ramener, on ne perd rien.

f est uniformément continue sur B, donc quelque soit il existe tel que

Maintenant, on découpe B en cubes de coté . On note le centre du i-ème cube

On a

Et comme , on a

Donc

On en déduit



Or le volume de chaque est et il y en a , donc le volume total de est

Ainsi, on peut recouvrir par un nombre fini de cubes de volume total arbitrairement petit.

[invitec12bce47]

Bonjour Tryss2, merci beaucoup ta solution est très claire, je n'aurais jamais trouvé seul. Peux-tu m'indiquer comment tu as eu l'intuition pour trouver ? (surtout pour le début du raisonnement). Etant en première année post-bac j'ai encore beaucoup de mal à résoudre ce genre nouveau de problèmes.

[invite23cdddab]

Mon raisonnement : déjà je commence à réfléchir avec le graphe d'une fonction de [0,1] -> R.

Du coup, comment recouvrir ce graphe par des rectangles de surface totale de plus en plus petite?

Là je me dis : Si je colle bout à bout des rectangles le long du graphe, la longueur totale est égale à 1, donc la surface totale serra la hauteur des rectangles (si ils font tous la même hauteur, sinon c'est un genre de moyenne pondérée).

C'est l'idée essentielle. Après, on "déroule" :

Du coup, si j'ai des rectangles de hauteur aussi petite que je souhaite, ça va marcher. Tiens, on a la continuité, ça va me donner un epsilon qui correspond à la hauteur des rectangles, la continuité est uniforme, donc on a même la largeur de chaque rectangle ! (pratique, car ça nous donne un nombre fini de rectangles). Bingo ! reste à écrire ça proprement en dimension n (ce qui ici est un peu pénible)

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec12bce47]

Merci beaucoup ça permet de se représenter visuellement le truc ! J'ai encore du progrès à faire pour pouvoir raisonner comme ça
Bonne fin de journée à toi.