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décomposition en élèments simples




  1. #1
    kizakoo

    décomposition en élèments simples

    Bonsoir, je bloque sur un exo où l'on demande la décomposition en éléments simples de la fraction :

    fraction.png

    J'ai essayé de calculer cette décomposition pour n=1 puis essayer de déduire la décomposition pour les autres valeurs de n par récurrence mais je n'aboutis à rien . Pouvez-vous m'aider ?
    Merci

    -----

    Dernière modification par kizakoo ; 05/06/2018 à 20h01.

  2. Publicité
  3. #2
    gg0

    Re : décomposition en élèments simples

    Bonjour.

    La méthode des pôles simples fonctionne sans problème. On obtient une forme générale, avec des "effets de bord" qui rendent l'écriture générale un peu pénible. Un truc de notation : Une somme de zéro termes vaut 0; un produit de zéro termes vaut 1 (conventions compatibles avec les formules habituelles).

    Bon travail !

  4. #3
    kizakoo

    Re : décomposition en élèments simples

    Bonsoir gg0, merci d'avoir répondu … je n'ai pas compris ta réponse. Comment faut-il procéder?


  5. #4
    Resartus

    Re : décomposition en élèments simples

    Bonjour,

    on cherche les ak tq : P(x)/[(x-x1)..(x-xk)…] = somme [ak/(x-xk)] dans le cas où les xk sont tous différents (c'est ce qu'on appelle des pôles simples).

    L'astuce pour trouver facilement les ak est la suivante :

    On multiplie les deux expressions par x-xk. L'égalité reste vraie pour tout x : si on la calcule pour x=xk, à droite il n'y a que ak, et a gauche la valeur pour x=xk de l'expression obtenue en retirant du dénominateur le terme en x-xk. C'est donc le ak cherché
    Why, sometimes I've believed as many as six impossible things before breakfast

  6. #5
    gg0

    Re : décomposition en élèments simples

    Pour Kizakoo : ce que vient d'expliquer Resartus est la méthode des pôles simples, qui se trouve au début de tous les cours sur la décomposition en éléments simples. Celui qui a cet exercice à faire est supposé bien connaître la méthode, et l'avoir pratiquée sur des cas plus élémentaires.

    Cordialement.

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    jacknicklaus

    Re : décomposition en élèments simples

    quand tu auras effectué les calculs indiqués, tu pourras constater que l'on peut arranger le produit sous forme :
    1) d'un produit de valeur positives 1,2, ... jusqu'à un certain terme ==> c'est un q! , q à déterminer en fonction de n et k
    2) d'un produit de valeurs négatives -1,-2, ... jusqu'à un certain terme ==> c'est un (p!).(-1)p, p à déterminer.
    There are more things in heaven and earth, Horatio, Than are dreamt of in your philosophy.

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