Equations différentielles

[invite20174e1e]

Bonsoir,

Je passe mon partiel de maths dans quelques jours et j'ai besoin de vous.

Je souhaite résoudre l'équation différentielle suivante: y' - 4y = x²
y(0)= 2

J'ai une correction mais elle n'est pas détaillée, du coup, je suis un peu perdue!

Correction:

Equation homogène: z' - 4z = 0
Solution générale: z = λe^4x

Le second membre x² est un polynôme de degré 2, donc je cherche une solution particulière de même degré:
y* = ax²+b+c

Pour trouver a, pas de problème, je trouve a= -1/4 mais pour trouver b et c je n'arrive pas à trouver les résultats: b = -1/8 et c = -1/32

Pouvez-vous m'aider s'il vous plait ?

Merci!
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[invitee290a5e0]

En posant y=ax²+bx+c, alors y'=2ax+b alors on a (injection dans l'équa diff) 2ax+b-4ax²-4bx-4c=x² (valable pour tout x) donc par identification (-4a-1=0;2a-4b=0;b-4c=0), on trouve bien les résultats que tu as annoncé. Tu as marqué y=ax²+b+c au lieu de ax²+bx+c je ne sais pas si ton erreur vient de là...

[invite20174e1e]

Merci pour ta réponse rapide !
J'ai bien compris le principe d'identification grâce à toi, c'est ce qui me bloquait. pour le bx, c'est juste une faute de frappe

J'ai une autre question pour une autre équation différentielle si je peux me le permettre ?

Cette fois-ci, il faut résoudre : 2y" + 4y' + 2y = e^2x y(0) = 1/9 et y'(0)= 0

Equation homogène: 2z" + 4z' + 2z = 0
Pour l'équation caractéristique, la correction m'indique que c'est r² + 2r + 1 = (r + 1)².
Je ne comprends pas pourquoi ce n'est pas plutôt: r² + 4r + 1 ?

Du coup, je continue avec la correction: l'équation caractéristique admet la racine double r = -1
Solution générale de l'équation homogène: z = (λx + μ)e^-x

Le second membre est une fonction exponentielle ou 2 n'est pas racine de l'équation caractéristique. La forme de la solution particulière est : y*=αe^2x

du coup on trouve α =1/18.
Deuxième question: comment on trouve α ?

Merci beaucoup! (je ne sais pas s'il faut créer un nouveau sujet étant donné que c'est une autre question ? si c'est le cas, je m'en excuse et j'en créerait un autre)

[gg0]

Bonjour.

"Je ne comprends pas pourquoi ce n'est pas plutôt: r² + 4r + 1 ?" Pourquoi ça ? L'équation différentielle se simplifie en z"+2z'+z=0, pas de 4.
"comment on trouve α ? " comme toujours en utilisant que c'est une solution (bêtement, ça veut dire qu'on peut remplacer y par y* dans l'équation et que c'est "vrai").

Cordialement.

NB : pas besoin de nouveau fil de discussion.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite20174e1e]

Merci pour vos explications.
C'est possible de détailler pour α ? ça reste encore un peu flou pour moi...

[gg0]

Inutile pour moi de détailler plus, si ça reste flou, ce n'est pas que c'est mal expliqué, mais simplement que tu ferais bien de revoir ce que veut dire "solution" pour une équation, en particulier ce qu'est une solution d'une équation différentielle. Tu utilises ce mot depuis des années, il serait temps de commencer à savoir.
Et en relisant tes cours, tu verras pourquoi on parle de "solution particulière".

Bon travail personnel !

[invite20174e1e]

Pas de souci, je vais me débrouiller
Merci !