Calcul d'une ellipsoide (Problème difficile)

[Alemarch]

Bonjour à tous,

J'ai du mal à trouver une réponse en adéquation avec mon problème, qui est je pense assez compliqué au final mais pas impossible.

Je cherche à calculer l'aire d'une ellipsoide partielle sur 360°.

Voici mon problème sur un logiciel de CAO :

Mon esquisse en 2D

ellpisoide_2d.png

Et ce que ça donne en 3D

ellpisoide_3d.png

Sachant que j'ai les valeurs des petits axes et grands axes, la valeur du centre de l'ellipse et de l'axe de révolution, est-il possible de calculer la surface de révolution de cette ellipse ? (À priori oui puisque le logiciel le fait mais avoir la réponse est un autre problème !

Merci d'avance.
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[Resartus]

Bonjour,
Il n'y aura pas de formules avec des fonctions élémentaires (c'est un problème de même nature que pour la longueur d'une ellipse).

Il est vraisemblable que certains mathématiciens ont développé jadis des formules approchées (par des développements en série en fonction de l'excentricité par exemple), mais il sera difficile d'en trouver aujourd'hui d'assez masochistes pour refaire cela; A l'ère des ordinateurs, la meilleure méthode est celle que vous avez utilisée : le faire faire à votre logiciel, qui va se baser sur des méthodes de calcul numérique très efficaces (éléments finis, etc.)

On peut faire varier la précision des calculs de votre logiciel si vous voulez plus de décimales, mais AMHA les réglages standards sont déjà largement suffisants

[Alemarch]

Bonjour Resartus,

C'est bien ce qu'il me semblait, cela semblait trop difficile (déjà que pour un tore partielle j'ai réussi mais j'ai galéré alors pour l'ellipse...). J'utiliserais donc le résultat de mon logiciel directement avec la surface.

Je te remercie pour ta réponse.

[eudea-panjclinne]

Je croyais aussi que l'aire de l'ellipsoïde dépendait des fonctions elliptiques mais en fait, c'est une fonction élémentaire.
Soit l'ellipse représentée dans le plan xOy par sa représentation paramétrique :


on suppose a>b.
est la demi distance focale.
On faisant tourner cette ellipse autour de Ox, on engendre alors un ellipsoïde de révolution dont l'aire est donnée par :



qui se calcule pour donner:

[A voir en vidéo sur Futura]