intégrale raisonnement faux pourquoi ?

[cheezburger]

Bonjour,

J'aurais besoin d'aide pour comprendre pourquoi mon raisonnement est faux sur un exercice d'intégrale : Trouver l'ensemble des fonctions f continues sur R telles que .


Ca me fait penser à une équa diff.


Je pose g : R -> R telle que g(t) = (x-t)f(t) : g est continue sur R donc elle admet des primitives sur R.


Je prends G une primitive quelconque de g, j'obtiens .

J'en déduis : .

Donc est dérivable sur R et :

d'où



Je trouve f(x) = x^2 + Cte mais c'est faux.

Je dois faire une confusion quelque part, mais je ne sais pas où. Un grand merci à qui pourrait m'aider.
-----

[AncMath]

La dérivée par rapport à x de n'est pas , tu dérives un produit ici.

[cheezburger]

Mais pourquoi je ne peux pas dire que g(t) = (x-t)f(t)

l'intégrale de 0 à x de g(t) vaut donc G(x) - G(0)

donc la dérivée de cette intégrale vaut (G(x) - G(0))' = g(x) = (x-x)f(t) = 0 ??

Ce n'est pas g que je dérive, mais sa primitive...

[AncMath]

Tu peux, mais ton g dépend de x. Ce qui rend ta formule fausse.

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

En fait, G dépend déjà de x puisque g en dépend. Pour éviter les ennuis, tu as intérêt à noter $g_x(t)$, ou plus simplement g(x,t) et la primitive G(x,t), l'intégrale G(x,x)-G(x,0).
Et on voit que la dérivée, par rapport à x de G(x,x) n'est pas g(x,x).

Cordialement.

[AncMath]

De manière plus précise, tu définis une fonction g(x,t)=(x-t)f(t), tu peux poser G(x,t) une primitive en t à x fixé de g(x,t), Mais

[gg0]

Une autre façon de voir est d'écrire :

où F est une primitive de F et G(t) une primitive de tf(t). Et tu peux dériver pour voir ce que ça donne.

Cordialement.

[cheezburger]

Ok je vois qu'avec votre 2e méthode gg, j'obtiens f'(x) - (F(x) - F(0)) -xf(x) + xf(x) = 2x
Soit : f'(x) - F(x) - F(0) = 2x et dériver une seconde fois permet d'obtenir une équation différentielle du 2nd ordre en f.


Le point délicat à mon niveau reste ce g(x,t). Merci pour vos explications là-dessus.

si je dis g(x,t) = (x-t)f(t) je comprends que G dépend de x.

D'ailleurs est-ce que c'est juste de dire ? Je ne suis pas sûr

Mais en tous les cas effectivement G(x,x) on peut très bien avoir par exemple une expression polynômiale dans la parenthèse et G(x,x) = G(P(x)) d'où G'(x,x) = G(P(X))' = g(P(x))P'(x) = P'(x)g(x,x) et idem G(x,0) aura aussi une dérivée en x que j'avais complètement occulté ici du coup.


C'est comme ça que je comprends les choses avec les explications que vous m'avez fournies. J'espère ne pas trop me fourvoyer.

[jacknicklaus]

Ok je vois qu'avec votre 2e méthode gg, j'obtiens f'(x) - (F(x) - F(0)) -xf(x) + xf(x) = 2x
Soit : f'(x) - F(x) - F(0) = 2x.

non. prends un exemple : f(t) = t.
L'intégrale est égale alors à x³/6, de dérivée x²/2 et non 2x.

La manière de dériver l'expression est :


je te laisse poursuivre en appliquant la relation fondamentale

[Merlin95]

D'ailleurs est-ce que c'est juste de dire ?

Tu peux c'est juste une convention mais G(x, y) est la primitive de par rapport à la deuxième variable c'est à dire la dérivée de G par rapport à y est égale à G'(x, y) = g(x, y).

[cheezburger]

jacknicklaus :

Je cherche f continue sur R telle que

soit

soit f(x) - x(F(x) - F(0)) + (G(x) - G(0)) = x² où ici G est une primitive de tf(t)

Je dérive :

f'(x) - (F(x) - F(0)) - xf(x) + G'(x) = 2x

soit f'(x) - F(x) + F(0) - xf(x) + xf(x) = 2x

soit f'(x) - F(x) + F(0) = 2x

je redérive : f''(x) - f(x) = 2 et l'exercice se résout comme cela..

Merci à tous pour vos réponses cela m'a bien aidé.