Bonsoir, dans cet exo j'ai pensé, pour la première question, à montrer qu'il s'agit d'un automorphisme de Rn[X] (l'ensemble des polynômes de degré inférieur ou égal à n ) et ce pour n quelconque mais je ne sais pas si ça aboutit ou pas …. pour les deux dernières questions j'ai essayé la récurrence mais ça ne marche pas . Pouvez-vous me filer un coup de main ?
Mercii
Bonjour,
je remarque tout d'abord que l'énoncé est un peu ambigu puisqu'il n'est pas précisé quelle est la structure algébrique considérée sur R[X] (R-espace vectoriel, anneau, R-algèbre?). Pour que l'énoncé soit correct, il faut dire qu'on considère R[X] comme un R-espace vectoriel et la question 1) est alors de montrer que f est un automorphisme de R-espace vectoriel.
C'est une bonne idée car R_n[X] est un R-espace vectoriel de dimension finie, ce qui permet de simplifier les choses. Une manière de procéder:Envoyé par kizakoo
a) Vérifier que f est une application R-linéaire.
b) Montrer que f préserve R_n[X].
c) Montrer que f est injective.
d) Montrer que f est un automorphisme de R_n[X]
e) Conclure que f est un automorphisme de R[X]
Pour la question 2), il n'y a pas besoin de récurrence: il suffit d'appliquer la question 1). Pour la question 3), une récurrence marche.
Bonsoir 0577 , merci de ta réponse
pour la question 1 comment pouvons-nous généraliser de Rn[X] vers R[X]?
Sinon pour la question 2 j'y ai parvenu par unicité (c-a-d sans récurrence) .
