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Corps




  1. #1
    mehdi_128

    Corps

    Bonjour,

    Sur l'ensemble considérons l'addition naturelle + définie par :

    Ainsi que la loi * définie par :


    Ces 2 lois confèrent-elles à l'ensemble une structure de corps ?
    Quel ensemble de nombres connus cette construction évoque-t-elle ?

    Montrons que est un groupe commutatif.
    Associativité : trivial
    Existence d'un élément neutre :
    Chaque élément de G1 possède un symétrique : le symétrique de est

    Montrons que est un groupe.
    Associativité : on vérifie par le calcul.
    Existence d'un élément neutre : je n'arrive pas à le trouver.
    Chaque élément de G2 possède un symétrique : je n'arrive pas à trouver le symétrique.

    Merci d'avance.

    -----


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  3. #2
    eudea-panjclinne

    Re : Corps

    Quel ensemble de nombres connus cette construction évoque-t-elle ?
    C'est gros
    C'est vu en Terminale
    C'est moins complexe qu'il le fait croire.

  4. #3
    Merlin95

    Re : Corps

    si (c,d) est l'élément neutre ca veut dire que
    (a,b).(c,d) = (ac-bd, ad+bc) = (a,b)

    d'où
    1) ac-bd = a
    2) ad+bc = b

    D'où si b différent de 0


    et en remplacant d dans la deuxième équation


    d'où c = 1 et d = 0
    même résultat pour b = 0.

    pour le symétrique :
    avec (a,b) <> (0, 0)
    (a,b).(c,d) = (ac-bd, ad+bc) = (1, 0)
    donc
    1) ac-bd = 1
    2) ad+bc = 0
    si b différent de 0


    d'où en remplacant d dans la deuxième équation

    d'où b<>0 et et
    même résultat si b = 0

    ca ne te fait pas penser aux c... ?
    Dernière modification par Merlin95 ; 12/07/2018 à 17h31.


  5. #4
    eudea-panjclinne

    Re : Corps

    ca ne te fait pas penser aux c... ?
    C'est pas beau de dire des gros mots

  6. #5
    Merlin95

    Re : Corps

    Petite erreur pour l'inverse pour la multiplication :
    Citation Envoyé par Merlin95 Voir le message
    d'où b<>0 et et
    Citation Envoyé par eudea-panjclinne Voir le message
    C'est pas beau de dire des gros mots
    Je peux pas donner la deuxième lettre quand même, ca prête encore à confusion .
    Dernière modification par Merlin95 ; 12/07/2018 à 17h39.

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    mehdi_128

    Re : Corps

    Merci. Vous allez un peu vite dans la résolution du système, faudra que je refasse les calculs à tête reposée.
    Je vois une erreur dans le premier calcul c'est : d = a(c-1)/b et pas d=a(1-c)b ...

    C'est quoi le rapport avec les complexes ?

  9. #7
    Merlin95

    Re : Corps

    Citation Envoyé par mehdi_128 Voir le message
    Merci. Vous allez un peu vite dans la résolution du système, faudra que je refasse les calculs à tête reposée.
    Je vois une erreur dans le premier calcul c'est : d = a(c-1)/b et pas d=a(1-c)b ...
    En effet mais l'idée est là (il y a un typo en 8ème ligne aussi que j'ai pas eu le temps d'éditer)

    C'est quoi le rapport avec les complexes ?
    que vaut la partie imaginaire et réelle de l'addition de deux complexes en fonction des parties réelles et imaginaires des nombres de départ, même chose pour la multiplication, l'inverse etc.

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  11. #8
    mehdi_128

    Re : Corps

    Oui en effet, je vais retaper les calculs proprement je vous montre le résultat.

    Soit et

    On a

    Et donc : et

    Pour la multiplication :

    Donc et

    Ah j'ai compris

    Pour l'inverse je dois faire quoi ?

  12. #9
    mehdi_128

    Re : Corps



    Je dois calculer la partie réelle et imaginaire de ça ?

  13. #10
    Merlin95

    Re : Corps


  14. #11
    mehdi_128

    Re : Corps

    Merci Merlin !

    Par contre, j'arrive pas à résoudre le système :





    Et ad=b-bc


    Et après j'y arrive plus.
    Dernière modification par mehdi_128 ; 12/07/2018 à 22h09.

  15. #12
    Merlin95

    Re : Corps

    Il s'agit d'un système d'équation à deux inconnus (c et d).

    1)

    2)

    dans une équation (la première par exemple) tu isoles par exemple c et tu exprimes cette variable en fonction du reste a, b et d.(appelons E cette équation).
    Tu injectes cette valeur de c, dans la deuxième équation, tu te retrouves avec une équation où n'apparait plus que a, b et d. Tu t'en sers pour exprimer d en fonction de a et b. Ensuite tu reprends l'équation E (c = ...) en injectant la valeur de d et tu trouves la valeur de c en fonction de a et b.
    Dernière modification par Merlin95 ; 12/07/2018 à 22h24.

  16. #13
    mehdi_128

    Re : Corps

    Je voudrais diviser par a ...

    Mais si ça donne un truc bizarre : et je sais pas quoi en faire

  17. #14
    Merlin95

    Re : Corps

    C'est juste.

    Si ça donne : et pour que ce soit vrai quelque soit la valeur b, il suffit que d = 0 et c = 1.

  18. #15
    mehdi_128

    Re : Corps

    Ah d'accord je vais continuer. Le détail que c'est vrai quelque soit b m'a échappé. Vu qu'on part d'un couple (a,b) ça doit être vrai pour tout a et b réels.

  19. #16
    mehdi_128

  20. #17
    Merlin95

    Re : Corps

    1) ac-bd = a
    2) ad+bc = b

    1) c = (a+bd)/a (E)

    que tu injectes dans (2) :

    ad+bc = b

    Ca donne

    ad +b(a+bd)/a = b

    a^2d + ab + b^2d = ab
    d'où
    d (a^2 +b^2) = 0

    d'où d = 0 que tu injectes dans (E) c = (a+db)/a = a/a = 1

  21. #18
    mehdi_128

    Re : Corps

    Merci beaucoup

  22. #19
    Merlin95

    Re : Corps

    Tu as fais une erreur de signe que tu as détecté je pense (c'est c (a^2+b^2 à la 6ème ligne)
    Dernière modification par Merlin95 ; 13/07/2018 à 00h51.

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