Corps

[mehdi_128]

Bonjour,

Sur l'ensemble considérons l'addition naturelle + définie par :

Ainsi que la loi * définie par :


Ces 2 lois confèrent-elles à l'ensemble une structure de corps ?
Quel ensemble de nombres connus cette construction évoque-t-elle ?

Montrons que est un groupe commutatif.
Associativité : trivial
Existence d'un élément neutre :
Chaque élément de G1 possède un symétrique : le symétrique de est

Montrons que est un groupe.
Associativité : on vérifie par le calcul.
Existence d'un élément neutre : je n'arrive pas à le trouver.
Chaque élément de G2 possède un symétrique : je n'arrive pas à trouver le symétrique.

Merci d'avance.
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[invitedd63ac7a]

Quel ensemble de nombres connus cette construction évoque-t-elle ?

C'est gros
C'est vu en Terminale
C'est moins complexe qu'il le fait croire.

[Merlin95]

si (c,d) est l'élément neutre ca veut dire que
(a,b).(c,d) = (ac-bd, ad+bc) = (a,b)

d'où
1) ac-bd = a
2) ad+bc = b

D'où si b différent de 0


et en remplacant d dans la deuxième équation


d'où c = 1 et d = 0
même résultat pour b = 0.

pour le symétrique :
avec (a,b) <> (0, 0)
(a,b).(c,d) = (ac-bd, ad+bc) = (1, 0)
donc
1) ac-bd = 1
2) ad+bc = 0
si b différent de 0


d'où en remplacant d dans la deuxième équation

d'où b<>0 et et
même résultat si b = 0

ca ne te fait pas penser aux c... ?

[invitedd63ac7a]

ca ne te fait pas penser aux c... ?

C'est pas beau de dire des gros mots

[A voir en vidéo sur Futura]

[Merlin95]

Petite erreur pour l'inverse pour la multiplication :

d'où b<>0 et et

C'est pas beau de dire des gros mots

Je peux pas donner la deuxième lettre quand même, ca prête encore à confusion .

[mehdi_128]

Merci. Vous allez un peu vite dans la résolution du système, faudra que je refasse les calculs à tête reposée.
Je vois une erreur dans le premier calcul c'est : d = a(c-1)/b et pas d=a(1-c)b ...

C'est quoi le rapport avec les complexes ?

[Merlin95]

Merci. Vous allez un peu vite dans la résolution du système, faudra que je refasse les calculs à tête reposée.
Je vois une erreur dans le premier calcul c'est : d = a(c-1)/b et pas d=a(1-c)b ...

En effet mais l'idée est là (il y a un typo en 8ème ligne aussi que j'ai pas eu le temps d'éditer)

C'est quoi le rapport avec les complexes ?

que vaut la partie imaginaire et réelle de l'addition de deux complexes en fonction des parties réelles et imaginaires des nombres de départ, même chose pour la multiplication, l'inverse etc.

[mehdi_128]

Oui en effet, je vais retaper les calculs proprement je vous montre le résultat.

Soit et

On a

Et donc : et

Pour la multiplication :

Donc et

Ah j'ai compris

Pour l'inverse je dois faire quoi ?

[mehdi_128]

Je dois calculer la partie réelle et imaginaire de ça ?

[Merlin95]

[mehdi_128]

Merci Merlin !

Par contre, j'arrive pas à résoudre le système :





Et ad=b-bc


Et après j'y arrive plus.

[Merlin95]

Il s'agit d'un système d'équation à deux inconnus (c et d).

1)

2)

dans une équation (la première par exemple) tu isoles par exemple c et tu exprimes cette variable en fonction du reste a, b et d.(appelons E cette équation).
Tu injectes cette valeur de c, dans la deuxième équation, tu te retrouves avec une équation où n'apparait plus que a, b et d. Tu t'en sers pour exprimer d en fonction de a et b. Ensuite tu reprends l'équation E (c = ...) en injectant la valeur de d et tu trouves la valeur de c en fonction de a et b.

[mehdi_128]

Je voudrais diviser par a ...

Mais si ça donne un truc bizarre : et je sais pas quoi en faire

[Merlin95]

C'est juste.

Si ça donne : et pour que ce soit vrai quelque soit la valeur b, il suffit que d = 0 et c = 1.

[mehdi_128]

Ah d'accord je vais continuer. Le détail que c'est vrai quelque soit b m'a échappé. Vu qu'on part d'un couple (a,b) ça doit être vrai pour tout a et b réels.

[mehdi_128]

Je trouve pas c=1 :

[Merlin95]

1) ac-bd = a
2) ad+bc = b

1) c = (a+bd)/a (E)

que tu injectes dans (2) :

ad+bc = b

Ca donne

ad +b(a+bd)/a = b

a^2d + ab + b^2d = ab
d'où
d (a^2 +b^2) = 0

d'où d = 0 que tu injectes dans (E) c = (a+db)/a = a/a = 1

[mehdi_128]

Merci beaucoup

[Merlin95]

Tu as fais une erreur de signe que tu as détecté je pense (c'est c (a^2+b^2 à la 6ème ligne)