Sommes binomiales

[henryallen]

Bonjour,

Je suis tombé sur un exercice qui consistait à calculer , avec , l'énoncé précisant qu'on devait le faire de différentes manières (au moins 3). J'ai réussi à faire quelque chose en repassant par la définition des coefficients binomiaux ainsi:

Dans les deux sommes, on pose , on a donc:

Donc on a , et finalement .

Mais là je dois dire que j'ai beau réfléchir, je ne vois pas quelles peuvent être les autres méthodes pour arriver au résultat (en supposant que ma méthode et mon résultat soient bons ...). Si vous pouviez me lancer sur une piste, je vous en serais reconnaissant.

Merci d'avance et bonne journée
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[invitef29758b5]

Salut

A propos de binôme .
(1+1)ⁿ =

[Médiat]

Bonjour,

Votre dernière ligne de calcul est fausse.

considérez (x+1)^n, dérivez, posez x = 1.

[jacknicklaus]

autre méthode : très facile par récurrence

[A voir en vidéo sur Futura]

[henryallen]

Bonjour et merci à vous trois pour vos réponses

@Dynamix et Médiat:

Oui, j'ai en effet fait une faute en recopiant mes calculs, on a .

Par rapport à vos pistes, je pense avoir en effet compris:

Pour tout , on pose . On a donc , et en particulier .
Mais on a également , et donc en dérivant cette expression, . Et en particulier, .

Et donc en utilisant les deux expressions de , on obtient .


Je dois dire que je n'aurais pas pensé à cette méthode, que je trouve très sympathique

@jacknicklaus:

J'y avais songé un temps, avant d'avoir l' (idiote) impression que je ne pouvais pas aboutir ... Donc voilà ce que ça donne en fait:

Pour tout , on pose . Soit la proposition: "". Démontrons par récurrence que est vraie pour tout .

Initialisation:
est vraie (ce qui est facilement vérifiable).

Transmission:
Soit pour lequel est vraie. On a donc . Prouvons que est vraie.

.

Donc, en posant :
d'après l'hypothèse de récurrence, et donc:
.
Ainsi .

En conclusion, est vraie, et pour tout , , donc pour tout , P(n) est vraie, et donc .


Merci encore à vous trois pour vos indications qui m'ont été très utiles, et bonne soirée

[invite9dc7b526]

Tu peux remarquer que S/2^n est l'espérance de la loi binomiale de paramètres n et 1/2, espérance qui vaut n/2 (car la somme des espérances de n lois de Bernoulli de paramètre 1/2). Donc tu as le résultat sans calcul.

[henryallen]

Bonjour,

Eh bien, à la fois simple et concis, c'est super ! Merci pour cette réponse très claire

Bonne journée.

[henryallen]

Bonjour,

Après avoir lu vos réponses et les avoir appliquées pour l'exercice que je cherchais à résoudre, j'ai essayé de les appliquer à d'autres exercices trouvés sur le même PDF, et j'ai réussi pour plusieurs d'entre eux. Cependant, je bloque de nouveau sur un exercice, et là je dois dire que mon blocage est plus ... important.

Donc déjà, voici ce qu'on cherche à calculer: .

-Dans un premier temps, j'ai essayé de repasser par la définition du coefficient binomial, mais je n'ai pas réussi à faire quoi que ce soit, puisque je me retrouvais (sauf si j'ai fait une erreur ...) à devoir calculer quelque chose comme , ce qui me paraît ... compliqué.

-Donc voyant que je n'y arrivais pas ainsi, j'ai cherché une fonction que l'on pourrait dériver pour obtenir deux expressions d'un même nombre dérivé, comme on me l'a conseillé pour l'exercice précédent, mais je n'y arrive pas non plus: pourrait être la dérivée, par rapport à x, de , mais je ne pense pas pouvoir exprimer cette fonction autrement, le k n'apparaissant pas en exposant pour utiliser le binôme de Newton.

-Enfin, j'ai essayé par récurrence. Le calcul des premiers termes m'a amené à l'hypothèse qu'on a . Donc (en négligeant fortement la rédaction), à supposer que cette hypothèse soit vraie à un rang n, on a:
et là, je ne vois pas ...

En bref, blocage total. Je suppose que la récurrence peut sûrement aboutir (à supposer que mon hypothèse soit bonne ...), mais je m'y prends sûrement mal. Pour les autres méthodes que j'ai essayées d'appliquer je ne sais vraiment pas si elles ne sont pas adaptées dans ce cas-là où si je les applique juste mal ...

Le problème (en plus d'un manque de réflexion je suppose ...) est que le cours que j'ai lu ne dispensait pas de méthodes pour ce genre d'exercices, et que ce sont les premiers que je fais (et il fallait évidemment que je tombe sur un PDF sans indications ni corrections ...), et je suis donc pas mal démuni et désemparé.

Merci d'avance pour d'éventuelles indications et bonne journée

[invite9dc7b526]

Le coefficient binomial C(n,k) c'est n(n-1)...(n-k+1)/k! si tu le multitplies par (n+1)/(k+1) tu obtiens C(n+1,k+1) donc (n+1)S est la somme des C(n+1,k+1) pour k variant de 0 à n. C'est donc 2^(n+1)-1 et le résultat est (2^(n+1)-1)/(n+1)

[henryallen]

Encore une fois merci ... J’utilisais la définition n!/(k!(n-k)!) (qui bien sûr est équivalente), et donc ça ne m’a pas sauté aux yeux de voir les choses ainsi. Bonne fin de journée

[Médiat]

Bonjour,

Et en cherchant une primitive de (x+1)^n ?

[henryallen]

Bonsoir,

Merci, ça marche bien, en effet J'aurais sûrement dû m'en douter du fait de la présence du (et puisque la dérivation ne marche pas, essayons l'intégration ...). Du coup voilà ce que j'ai fait:

Soit . On appelle la primitive de dont le terme constant est nul. En intégrant f, on obtient la fonction qui à x associe (à une constante additive près). On voit qu'ici le terme constant est non nul, et vaut (on pourrait le voir en utilisant la formule du binôme, mais c'est en réalité assez évident), donc .

Mais d'un autre côté, , donc en intégrant, on trouve (toujours à une constante additive près) la fonction qui à x associe . Ici, le terme constant est nul, puisqu'on a toujours x élevé à une puissance .

Et donc on a: . Et notamment, lorsque x vaut 1, on a

Merci encore pour l'aide, et bonne soirée

[QueNenni]

C'est un exercice intéressant et j'imagine un livre revisitant successivement les chapitres de l'analyse mathématiques oû le sigma serait au centre des démonstrations, page après page.

[fartassette]

Bonjour,

Je suis tombé sur un exercice qui consistait à calculer , avec , l'énoncé précisant qu'on devait le faire de différentes manières (au moins 3). J'ai réussi à faire quelque chose en repassant par la définition des coefficients binomiaux ainsi:

Dans les deux sommes, on pose , on a donc:

Donc on a , et finalement .

Mais là je dois dire que j'ai beau réfléchir, je ne vois pas quelles peuvent être les autres méthodes pour arriver au résultat (en supposant que ma méthode et mon résultat soient bons ...). Si vous pouviez me lancer sur une piste, je vous en serais reconnaissant.

Merci d'avance et bonne journée

Bonjour,


J'ai regardé un peu ce que tu as fait dans ce premier post, c'est intéressant. Néanmoins on peut faire couler moins d 'encre me semble t'il.

pour, on a :




d'ou,

[henryallen]

Oui, je m’en suis en effet rendu compte après coup ... Merci

[fartassette]

Bonsoir,

J' ai réussie à trouver une autre idée pour cette première somme .La formule de symétrie des coefficients binomiaux a ouvert une porte pour ne pas dire boulevard :
Et en plus le cheminement de la fin ressemble étrangement au vôtre!

On effectue ce changement de variable


Soit,

or sont des entiers tels que alors

Ainsi,

[QueNenni]

C'est dommage : les deux bornes du sigma k = 0 et k =n-1 on était permutées par erreur !

[QueNenni]

Rectificatif... c'est dommage : les deux bornes du sigma k' = 0 et k' = n-1 on était permutées par erreur !

[QueNenni]

Rectificatif : c'est logique que les deux bornes du sigma soient permutées après le changement de variable.

[gg0]

"les deux bornes du sigma k' = 0 et k' = n-1 on était permutées"
on était = nous étions
les deux bornes du sigma k' = 0 et k' = n-1 nous étions permutées

Cordialement.

[fartassette]

Bonjour,

Ben oui c 'est logique que celle ci soit modifiées.Le changement de variable respecte une symétrie du terme général pour ce cas là .