Dépendance Linéaire et Produit Extérieur

[Soel46]

Bonjour à tous,

Étant donné un -espace vectoriel E de dimension finie , et . Soient une famille de formes linéaires sur E, et une autre famille telle que , alors chaque est combinaison linéaire des .

Je n'arrive pas à tirer de l'information me permettant de démarrer dans la preuve de cette assertion. Disons que je suis ultra novice en géométrie différentielle, et tout ce que je vois c'est une combinaison linéaire nulle de formes bilinéaires.
Voudriez-vous me donner quelque chose pour démarrer, s'il-vous-plaît ?
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[Resartus]

Bonjour,

Il me semble qu'il manque dans l'énoncé la condition que la famille fk est libre.

p étant strictement inférieur à n, on peut par exemple choisir une base de hl avec p<l=<n du sous espace complémentaire de l'espace engendré par les fk.
la famille (f, h) est une base de E* et on peut exprimer les g dans cette base

Pour la démonstration, on peut le faire par l'absurde : supposons qu'il existe un gk qui n'appartient pas au sous-espace engendré par les f. Alors il contient au moins une composante non nulle sur les hl, par exemple a.hi. Et si on exprime la somme des fk^gk, elle va contenir une composante a.fk^hi non nulle.

Comme la famille des (f x f, f x h, h x f, h x h) est libre sur E* x E* (j'ai mis x mais vous avez peut-être une autre notation pour cela),
la somme ne pourra pas être nulle

[Soel46]

Thanks Sir, appreciated! Disons x comme .