Produit de deux sommes , dépendance de i et j ,

[invite40b4264b]

Bonjour,
Image de la formule jointe , impossible d'avoir assez de détails avec la formule somme de LaTex,
Mon professeur m'a demandé de montrer que cette formule n'est pas valable si i et j sont dépendants l'un de l'autre càd : 0≤i ≤j ≤n
Cela fait un moment que j'essaie différentes méthodes , j'ai essayé démonstration par contre-exemple et aussi plusieurs développements,sans résultats.

Je ne sais vraiment pas comment commencer , je débute la L1 mathématiques ,
De plus je ne vois pas trop comment évolue la formule avec les contraintes étant donné que i peut être égal a j...
Merci d'avance
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[gg0]

Bonjour.

la question de ton prof est un peu vicieuse, car si i et j dépendent l'un de l'autre, il n'y a pas de I et J, tout au plus I. Et on a bien :

Ce sont des factorisations partielles par les a_i, simplement.
Par contre on n'a pas d'équivalent de la factorisation totale :

Qui d'ailleurs a des conditions pour avoir un sens (vrai si I et J sont finis).

Cordialement.

[invite40b4264b]

Bonjour ,
Tout d'abord merci gg0 pour votre réponse si rapide et si claire,
J'aurais juste une question , est- ce que ceci est correct ?
Nous n'avons fait que deux cours sur les sommes , je ne suis pas encore tout à fait au point ,
Merci

[gg0]

Pourquoi me ferais-tu confiance ? Examine ça sur des exemples explicites, par exemple n=4 ou n=5, en développant les sommes.

A mon idée, la première formule est une sorte de définition, puis ensuite, tu factorise les ai.

Dans les calculs avec les sommes générales, il entre une grande part d'habitude. Et après avoir pris des habitudes sur les sommes finies, il faut en acquérir d'autres quand l'ensemble des indices est infini, pour les séries et familles sommables (mais j'imagine que ce sera plus tard dans ton cas).

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite40b4264b]

En fait , ce que j'ai du mal à saisir , c'est ce que , concrètement , change la dépendance 0≤i ≤j ≤n sur le résultat, sachant que i peut valoir j si je crée un ensemble I = 1,2,3.....N et un ensemble J = 1,2,3.....N le résultat obtenu est le même.. Où est-ce que les indices entrent en jeux c'est vraiment ce que je ne comprends pas..

[gg0]

Heu ... si i ne dépend pas de j, si n=10 et , on a un terme a₃b₅ qui n'existe pas si .
C'est bizarre que tu ne voies pas ça. C'est pourtant écrit !!

[invite40b4264b]

Enfin , ça y est j'ai saisi , oui effectivement je comprends désormais , mon esprit s'était fermé au point de me voiler la vue sur des évidences de ce type..
Merci beaucoup gg0 ,