Convergence des suites et séries de fonctions

[Leond95]

Bonjour a tous,

J'ai un problème avec les 3 types de converges( simple, normale, uniforme) des suites et séries de fonctions, j'ai cherché des cours sur google mais ça reste compliquer pour moi, est que quelqu'un peux me les expliquer d'une façon un peux simple.

Cordialement
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[gg0]

Bonjour.

Convergence simple :
Tu as une suite de fonctions ; pour chaque x, tu as donc une suite numérique ; ici, x est fixé, c'est une seule valeur. Cette suite peut converger. Si converge pour tout x d'un ensemble de réels E, on dit que la suite converge simplement sur E. Attention, ce qui se passe en deux valeurs x et x' de E n'a à priori aucun lien. Et, par exemple, les peuvent être continues sans que la fonction limite soit continue.
Par exemple, pour sur [0;1], les limites des suites sont toutes nulles sauf pour x=1 (la limite est 1).

Dans les deux autres cas, on veut pouvoir contrôler la façon dont la convergence se fait, on veut que cette convergence simple soit "régulière". C'est ce qu'on impose dans la convergence uniforme : On modifie la définition de la convergence de façon à assurer qu'il n'y aura pas des différences notables entre la convergence en x et la convergence en x'.

Enfin, la convergence normale, pour les séries, est une méthode pratique pour assurer la convergence absolue des séries en imposant au terme général d'être assez petit quel que soit x, pour assurer la convergence de la série.

Maintenant, relis tes cours avec ces idées en tête, et essaie de décoder les définitions qui y sont données. Si tu butes, viens expliquer complétement où tu en es.

Cordialement.

[eudea-panjclinne]

Le mieux est d'en revenir aux définitions de convergence:
Soit U un ouvert de IR
Une suite f(n,x) converge simplement vers f(x) dans U quand:
Pour tout x de U, pour tout e>, Il existe N(x,e)>0 tel que pour tout n>N, |f(n,x)-f(x)|<e
Remarque que N dépend à la fois de x et e.

Une suite f(n,x) converge uniformément vers f(x) dans U quand:
Pour tout x de U, pour tout e>, Il existe N(e)>0 tel que pour tout n>N, |f(n,x)-f(x)|<e
Remarque que, dans ce cas N ne dépend que de e.

La convergence normale concerne les séries:
La série de fonctions de terme général f(x,n) est dit normalement convergente sur un ouvert U si:
Il existe une suite de réels positifs u(n), terme général d'une série convergente, tel que pour tout x de U |f(x,n)|<u(n)

On montre dans ce cas que la série de terme général f(x,n) est uniformément convergente sur U.

Il est à noter qu'il y a équivalence entre suite et série par :
Pour tout n, U(n)=u(0)+u(1)+...u(n)
La suite U(n) est naturellement associée à la série de terme général u(n) : Elles sont de même nature et convergent vers la même limite quand elles sont convergentes.

[Leond95]

Bonjour gg0,

J'ai pas compris, est ce que tu peux me donner un exemple qui explique les démarches pour monter qu'une suite de fonctions converge simplement

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Je te l'ai donné. En supposant que tu sais justifier la convergence (ou non) d'une série numérique.

Reprends sur [0;1].
Pour x<1, quelle est la limite de quand n tend vers l'infini ? Et pour x=1 ? Donc la suite converge simplement sur [0;1] et sa limite est la fonction ....
Considère maintenant sur [2;10]. Quelle est la limite de quand n tend vers l'infini pour un x fixé compris entre 2 et 10 ? Conclusion sur la convergence de la suite .

A toi de faire, tout a été expliqué.