Extension de corps

[jall2]

bonjour

On peut définir l'ensemble des nombres complexes par C = R[X]/(X²+1)

où R[X]/(X²+1) est l'ensemble des polynômes à coefficients réels "modulo" X²+1

dans cet ensemble X² = (X²+1)-1 = -1 mod X²+1
donc le polynôme X est identifié à i
Le sous ensemble des polynômes constants est identifié à R par isomorphisme

La question est de savoir ce que devient cet ensemble si on change le polynôme X²+1

Par exemple avec R[X]/(X²+4)
C'est toujours C, le polynôme X correspond à 2i
X² = X²+4-4 = -4 mod X²+4 -> X=2i

Mais si à la place de X²+1 je prends un polynôme irréductible de degré 4, par exemple X^4+X+1
à quoi peut bien correspondre R[X]/( X^4+X+1) ?

ça à l'air plus gros que C, or à ma connaissance il n'y a pas de corps commutatifs plus gros que C.
(les quaternions ne sont pas commutatifs)
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[AncMath]

Diable, des polynômes de degré 4 irréductibles sur !!

[AncMath]

ça à l'air plus gros que C, or à ma connaissance il n'y a pas de corps commutatifs plus gros que C.

Que penses tu de le corps des fraction de l'anneau des polynomes complexes à une variable.

[jall2]

Hum ... effectivement, j'ai confondu polynôme irréductible et polynomes sans racine

Malgré tout que peut on dire de R[X]/(X^4+X+1) ?
L'ensemble est mal défini car X^4+X+1 n'est pas irréductible
ou bien ce n'est pas un corps car il y a des diviseurs de zeros, c'est un anneau

[A voir en vidéo sur Futura]

[Médiat]

Bonjour,

à ma connaissance il n'y a pas de corps commutatifs plus gros que C.

Si, des tonnes, vous parlez des algèbres réelles (théorèmes de Frobenius, Hurwitz, Zorn etc.)

[AncMath]

Hum ... effectivement, j'ai confondu polynôme irréductible et polynomes sans racine

Malgré tout que peut on dire de R[X]/(X^4+X+1) ?
L'ensemble est mal défini car X^4+X+1 n'est pas irréductible
ou bien ce n'est pas un corps car il y a des diviseurs de zeros, c'est un anneau

C'est un anneau isomorphe à la somme de deux copies de (si je ne me suis pas planté dans ma factorisation de ton polynôme de degré 4. Il est effectivement non intègre.

[jall2]

@AncMath

Concernant le corps des fractions de l'anneau des polynomes complexes à une variable, je ne vois pas si une partie
de cet ensemble est isomorphe avec le corps (C, +, x)

[gg0]

Essaie l'ensemble des polynômes de degré <1.

Cordialement.

[jall2]

Quelques informations additionnelles trouvées ici:
http://gilles.dubois10.free.fr/Nombr...xtensions.html

Existe-il des 'extensions' de ℂ, c'est à dire des corps dont ℂ soit un sous-corps ?

La réponse à cette dernière question est positive mais si on veut construire des extensions de ℂ, il faudra abandonner l'une au moins des deux conditions suivantes:

Etre algébrique
Etre commutatif

Une extension E d'un corps K est dite 'algébrique' si tout élément de E est racine d'une équation polynomiale P(x)=0 à coefficients dans K.

ℂ possède des extensions non commutatives. En particulier le 'corps des quaternions'

Pour ce qui concerne les extensions commutatives (donc non algébriques) on peut déjà proposer, entre autres, ℂ(X), le corps des fractions rationnelles à coefficients dans ℂ, dont les éléments sont les quotients de polynômes formels P(X)/Q(X) à coefficients complexes.