équation différentielle second ordre non linéaire

[jacknicklaus]

Bonjour à tous,

en répondant à une question récente posée en physique sur le célèbre dispositif du rail de Laplace, https://fr.wikipedia.org/wiki/Force_...ail_de_Laplace, je me suis demandé ce que devenait l'équation si on prenait en compte l'augmentation de la résistance électrique avec l'allongement de la taille du circuit électrique.

On tombe sur une équation différentielle du type d²v/dt² + a.v.dv/dt + b.dv/dt = 0, où a et b sont des constantes. Une idée de résolution autre que numérique?
-----

[JB2017]

Bonjour
c'est tout de même un problème tiré de la physique donc a et b ont peut être un signe déterminé.
Que dire des conditions initiales ou aux limites?
Sinon j'essaierai une solution de la forme v(t)=q+w(t)
avec q bien choisi.
En effet on doit voir que les constantes sont solutions.
mais alors l'équation devient facile à résoudre, je te le laisse en cadeau.

[stefjm]

C'est bien ce que donne alpha pour a et b valant 1
http://www.wolframalpha.com/input/?i...%2B+v%27+%3D+0

[Black Jack 2]

Bonjour,

Es-tu sûr que ton équation est bien représentative de ton problème ?

Je présume que le générateur est un générateur de tension (la variation de résistance serait sans influence avec un générateur de courant)

On peut tenir compte des variations de la résistance en lui donnant la dorme : R + k.x (avec k une constante et x le déplacement de la barre)

Mais cela aboutit (sans vérifications de ma part) à une équation : x'' + A.x.x" + B.x' = C (avec A, B et C des constantes positives)

Et même en dérivant par rapport à t, on arriverait à : v'' + A.x.v' + A.v.v' + B.v' = 0, il reste un terme (qui contient x) en plus de ton équation.

Tu pourrais mettre le détail de tes calculs sur le site ... ou mieux le poser dans la rubrique "physique" (pour l'établissement de l'équation différentielle).

[A voir en vidéo sur Futura]

[jacknicklaus]

Je présume que le générateur est un générateur de tension (la variation de résistance serait sans influence avec un générateur de courant)

non, il s'agit d'une capacité préalablement chargée, qu'on commute sur le circuit à l'aide d'un interrupteur. je suis raisonnablement certain de l'équation différentielle, c'est pourquoi je poste en maths et non en physique.

[Black Jack 2]

Soit, il me semble quand même qu'il manque un terme.

u - e = (R + kx).i (avec u la tension aux bornes de C, e la force contre électromotrice induite.
du/dt - de/dt = R.di/dt + kx.i

e = BL.v
i = -C du/dt

En dérivant par rapport au temps :

-i/C - BL.dv/dt = R.di/dt + k.i.v + k.x.di/dt

Or BLi = m.dv/dt --> i = m/(BL).dv/dt

-m/(BL.C).dv/dt - BL.dv/dt = mR/(BL).d²v/dt² + k.m/(BL).v.dv/dt + mk/(BL).x.d²v/dt²

mR/(BL).d²v/dt² + k.m/(BL).v.dv/dt + mk/(BL).x.d²v/dt² + (m/(BL.C) + BL).dv/dt = 0

Et en divisant les 2 membres par mR/(BL), on arrive à la forme :

d²v/dt² + A.v.dv/dt + B.dv/dt + C.x.d²v/dt² = 0

qui est ton équation + le terme "C.x.d²v/dt²" ... Sauf si je me suis trompé.

[jacknicklaus]

Tu as absolument raison, une mauvaise notation m'avait fait réintégrer le x en tant que constante dans l'autre terme en d²v/dt².
Bref, ca devient du 3ème ordre cette équation. C'était finalement une mauvaise idée, de transformer le rail de Laplace en résistance variable...