Voisinage

**mehdi_128** · 20/09/2018, 02h45

Bonsoir,

Je précise que je n'ai pas encore étudié les ouverts/fermés.

Je suis dans la démonstration du théorème des gendarmes version topologie.

Soient u, v et f 3 fonctions définies au voisinage de $x_0 \in \bar{R}$ telles que :

$\exists l \in \R, \lim\limits_{x \rightarrow x_0} u(x) = \lim\limits_{x \rightarrow x_0} v(x)=l$

Et $\exist W_0 \in V(x_0) , u\leq f \leq v$ sur $W_0$

Alors la fonction f admet une limite égale à $l$ en $x_0$ .

Voici où je bloque :

Soit V un voisinage de $l$ . Comme $l \in \R$ , ce voisinage V contient donc un intervalle $I$ contenant $l$ et qui est lui même également un voisinage de $l$ .

Je pense qu'on est dans l'espace métrique $(\R, d)$ muni de la distance usuelle donc comme l est un réel, si V est un voisinage de l, il existe $\epsilon >0, I=]l-\epsilon, l+\epsilon[ \subset V$
$I$ contient bien $l$

Je ne comprends pas pourquoi : $I$ est également un voisinage de $l$

**albanxiii** · 20/09/2018, 06h28

Bonjour,

Envoyé par mehdi_128

Soit V un voisinage de $l$ . Comme $l \in \R$ , ce voisinage V contient donc un intervalle $I$ contenant $l$ et qui est lui même également un voisinage de $l$ .

C'est ce qui vous sert de définition d'un voisinage : un voisinage d'un point a contient un intervalle (*) contenant a ?

Si oui, vous pouvez bien trouver un intervalle inclus dans I qui contienne l, c'est I lui-même.

(*) vous n'avez pas précisé intervalle ouvert ou fermé. Si c'est fermé, cette définition ne correspond pas à celle "habituelle" que j'ai apprise au siècle dernier (un voisinage de a contient un ouvert contenant a).

**Deedee81** · 20/09/2018, 08h19

Salut,

Envoyé par mehdi_128

il existe $\epsilon >0, I=]l-\epsilon, l+\epsilon[ \subset V$
Je ne comprends pas pourquoi : $I$ est également un voisinage de $l$

Comme le dit albanxiii, il faudrait que tu précises la définition (*) que tu as des voisinages vu que tu dis ne pas avoir étudiés les ouverts/fermés (je trouve ça assez étrange, une topologie étant définie par ses ouverts).
Mais tout intervalle ouvert ]x,y[ est un voisinage des points qu'il contient.

(*) Ca peut pas être (toute) la phrase citée par albanxiii puisque alors on aurait une définition qui se mord la queue.
Généralement on dit "V est un voisinage d'un point s'il contient une boule/intervalle ouvert contenant ce point". Sans plus.

EDIT il y a aussi la définition faisant appel à une définition axiomatique sans parler d'ouverts.
Mais il faudrait préciser.

**mehdi_128** · 20/09/2018, 12h52

Envoyé par albanxiii

Bonjour,

C'est ce qui vous sert de définition d'un voisinage : un voisinage d'un point a contient un intervalle (*) contenant a ?

Si oui, vous pouvez bien trouver un intervalle inclus dans I qui contienne l, c'est I lui-même.

(*) vous n'avez pas précisé intervalle ouvert ou fermé. Si c'est fermé, cette définition ne correspond pas à celle "habituelle" que j'ai apprise au siècle dernier (un voisinage de a contient un ouvert contenant a).

Ah merci bien !

Les voisinages contiennent des boules ouvertes, or les boules ouvertes dans $\R$ sont des intervalles du type $]x-\epsilon , x+ \epsilon[$

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**mehdi_128** · 20/09/2018, 13h06

Les ouverts sont définis 2 pages plus tard dans le livre.

La définition de voisinage est : (définition de Felix Hausdorff 1914)
Soient $(E,d)$ un espace métrique, V une partie de E et $x \in E$
On dit que V est un voisinage de x lorsqu'il existe une boule ouverte de centre x et de rayon strictement positif $\varepsilon$ incluse dans V.

J'ai une question sur les ouverts, ayant résolu ma question.

Soit $(E,d)$ un espace métrique.
On dit que la partie U de E est un ouvert de E lorsque U est un voisinage de chacun de ses points.

- L'ensemble tout entier est trivialement ouvert. Je ne comprends pas pourquoi, on sait même pas de quel ensemble on parle ?
- L'ensemble vide est ouvert car il n'a pas de point. Pas compris non plus

**gg0** · 20/09/2018, 13h20

Bonjour.

"L'ensemble tout entier est trivialement ouvert. " Quand on parle d'un espace métrique, défini par un ensemble et une distance sur cet ensemble, puis de parties de cet ensemble E, tu crois que le contexte n'est pas suffisant pour comprendre cette phrase ???

Pour l'ensemble vide, une phrase du genre "quel que soit l'élément de l'ensemble, ..." est toujours vraie, puisque sa négation est "il existe un élément de l'ensemble tel que .." est obligatoirement fausse, il n'existe pas d'élément de l'ensemble vide.

Cordialement.

invite23cdddab · 20/09/2018, 15h34

Sinon, pour l'ensemble tout entier : quelque soit le point x de E, tu prends la boule ouverte centrée en x et de rayon 1 (par exemple), alors, par définition, elle est dans E, donc E est un voisinage de x.

**mehdi_128** · 20/09/2018, 16h17

Envoyé par Tryss2

Sinon, pour l'ensemble tout entier : quelque soit le point x de E, tu prends la boule ouverte centrée en x et de rayon 1 (par exemple), alors, par définition, elle est dans E, donc E est un voisinage de x.

Je vois mais ils veulent dire quoi par "ensemble tout entier" ?

**gg0** · 20/09/2018, 17h19

ben ... c'est E. Pourquoi faut-il te traduire ???

On est en train de parler de parties de E, E est une partie de E, l'ensemble tout entier ...

**mehdi_128** · 20/09/2018, 19h01

J'ai compris pour l'ensemble vide :

$\forall x \in \emptyset$ est toujours vrai donc : $\forall x \in \emptyset, \exists \epsilon >0 : B(x,\epsilon) \subset E$
Donc E est voisinage de chacun des points de l'ensemble vide donc $\emptyset$ est un ouvert.

Mais j'ai toujours pas compris pour l'ensemble E tout entier pourquoi il est ouvert.

invite9dc7b526 · 20/09/2018, 19h49

Envoyé par mehdi_128

Donc E est voisinage de chacun des points de l'ensemble vide donc $\emptyset$ est un ouvert.

euh...

c'est pas encore ça.

**mehdi_128** · 20/09/2018, 20h18

J'ai fait une erreur les définitions de topologie je ne suis pas habitué à les manipuler

Ce qui suit $\forall x \in \emptyset$ dans une proposition est toujours vrai donc : $\forall x \in \emptyset, \exists \epsilon >0 \ , B(x,\epsilon) \subset \emptyset$

Donc l'ensemble vide est voisinage de chacun de ses points donc $\emptyset$ est un ouvert.

**mehdi_128** · 20/09/2018, 20h20

Envoyé par Tryss2

Sinon, pour l'ensemble tout entier : quelque soit le point x de E, tu prends la boule ouverte centrée en x et de rayon 1 (par exemple), alors, par définition, elle est dans E, donc E est un voisinage de x.

Comment savez vous que la boule va rester dans E ? Si par exemple le point x est au bord de l'ensemble E, la boule ne peut pas sortir ?

**pm42** · 20/09/2018, 20h51

Envoyé par mehdi_128

Comment savez vous que la boule va rester dans E ? Si par exemple le point x est au bord de l'ensemble E, la boule ne peut pas sortir ?

Il n’y a pas de porte pour sortir donc elle reste dans E.

**mehdi_128** · 20/09/2018, 20h51

J'ai enfin compris.

Dans un espace métrique (E,d) toute boule ouverte est une partie de E par définition.

Donc $\forall x \in E : B(x,r) \subset E$ Ainsi E est un voisinage de tous ses points, donc E est un ouvert.

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