Définition de limite par le voisinage

[mehdi_128]

Bonjour,

J'ai deux définitions sur les limites et j'aimerais démontrer l'équivalence mais je n'arrive pas.
Et aussi pourquoi on utilise forcément des voisinage pour les limites ?

désigne l'ensemble des voisinages de

Définition 1 :
Soit une partie de et , et
La fonction admet une limite en égale à lorsque :



Définition 2 :
Soit une fonction définie sur un domaine et .
La fonction admet une limite finie en égale à lorsque :



Cordialement.

Ce que j'ai fait :



Je transforme l'écriture d'un voisinage de l :

est un voisinage de si il existe tel que :

Soit dans :

Or :
Donc est un voisinage de .

Ainsi la définition devient :

: :

Mais je vois pas comment modifier le : ?

Dans la définition de voisinage c'est "il existe un epsilon >0" or dans la définition 2 on a "pour tout epsilon" je ne comprends pas
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[Anonyme007]

Bonjour :

Tu as faux dans le passage suivant :

est un voisinage de si il existe tel que : ...

est l'ensemble des voisinages de , et non un voisinage de , tout comme qui est l'ensemble des voisinages de , comme tu l'as souligné plus haut, et non un voisinage de .

[mehdi_128]

Ca change quoi au juste ?

[Anonyme007]

ça permet de répondre à ton passage suivant :

Mais je vois pas comment modifier le : ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[mehdi_128]

DOnc l'ensemble des voisinages de c'est tous les intervalles ?

Si appartient à tous les voisinages de alors :

Mais c'est pas ce qui est écrit dans la définition, ils ont laissé que le epsilon >0

[Anonyme007]

Voici comment il faut répondre :

Montrons le sens : :

Supposons que :

Cela implique en particulier, que :

avec , on a :

C'est à dire :

.