bonjour,
On a n esp Ei supplémentaires dans E, n applications linéaires ui qui vont de Ei dans E. Il existe une unique application linéaire f dont les restrictions f|Ei coïncident avec les ui sur Ei
Pour démontrer ce théorème on fait un raisonnement par analyse synthèse : L'analyse on suppose que f existe, on doit montrer qu'elle est unique. Pour montrer l'unicité on se donne un x dans E on le décompose en une somme d'éléments de Ei , x=x1+...+xn, pour tout x dans E on peut écrire
f(x) comme la somme des ui(xi) qui est une fonction connue. Mais je ne comprends pas pourquoi on a besoin de l'unicité de la décomposition de x ou autrement dit pourquoi on a besoin que les Ei soit en somme direct.
Si je refais la demo sans cette hypothèse de somme directe, ça donne ça:
je suppose que f existe, soit x appartient à E, il existe une décomposition de x comme somme d'éléments de Ei (qui n'est pas unique), on a donc f(x)=u1(x1)+...+un(xn), tous mes f(x) sont entièrement déterminés.
Pour la synthèse : je définis la fonction qui va de E dans F qui à x associe la somme des ui(xi), avec xi une décomposition de x dans E (n'importe laquelle)
montrons que f est linéaire soit x et y des vecteurs de E et lambda un scalaire
au préalable je dis qu'il existe une décomposition de x et y (n'importes lesquelles) tel que x=x1+...+xn et y=y1+...+yn d'où lambda*(x1+...+xn)+y1+...+yn est une décomposition de lambda*x + y dans E
je vous fais pas toute la linéarité mais ça se fait bien
puis ensuite il faut montrer que les restrictions de f, les f|Ei coïncident bien avec les ui soit x un élément de Ei on a f(x)=ui(x) donc voilà.
quelqu'un sait ce qui ne va pas dans cette nouvelle démonstration? J'ai l'impression que c'est ma synthèse qui ne va pas au moment où je définis mon application f, j'ai peut-être pas le droit de dire que c'est n'importe quelle décomposition de x.
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Envoyé par Keisersoze 