Démonstration multiplication couple (x,y) et (x',y')

[hbx360]

Bonjour,

Pourriez-vous me dire comment quand on multiplie deux couples entre eux on arrive à ça :

(x,y) . (x',y') = (xx' - yy', xy' + x'y)

J'ai cherché sur internet, j'ai trouvé plein de pdf et tous mettent cette formule, mais aucun ne donnent une explication. Ils mettent ça comme ça comme ci s'était une vérité et je ne comprend pas pourquoi on en arrive à ça.

Pourquoi en multipliant les 2 couples ont à xx' - yy' et xy' + x'y d'ou sort le moins et l'association des xx' yy' xy' et x'y ?

Merci.
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[albanxiii]

Bonjour,

Pouvez-vous préciser dans quel contexte vous avez vu cette relation ?

[Tryss2]

Probablement en rapport avec les nombres complexes. Parce que l'ensemble des couples de R² muni de l'addition classique et de cette multiplication, c'est l'ensemble des nombres complexes

De façon générale, il n'y a pas de multiplication "standard" (ou canonique) pour les couples. Ici, on défini la multiplication entre deux couples de cette façon, parce que cette définition de la multiplication va avoir des propriétés intéressantes.

[hbx360]

@albanxiii : c'est dans la représentation algébrique des nombres complexes.

@Tryss2 : oui c'est les nombres complexes. Donc si je comprends bien les mathématiciens ont dit : "Ha on va faire la multiplication de couples réel comme ça parce que c'est pratique". Et c'est tout ; pas de fondement lié à quelque chose d'autre le plan cartésien ou complexe ou un truc dans le genre.
Y a pas une démonstration qui peut prouvé la méthode de calcule des couples réelle dans un ensemble complexe parce que moi accepté comme ça des formule mathématique qui sorte de nul part je n'aime pas ça. J'accepte mais je déteste ça.

[A voir en vidéo sur Futura]

[minushabens]

non la création des nombres complexes n'a pas suivi ce chemin parce qu'à l'époque de Cardano on ne raisonnait pas en termes de structures algébriques. Hamilton en revanche aurait exploré systématiquement les façons de multiplier des triples (sans résultat) puis des quadruplets de nombres avant de découvrir les quaternions, si l'on en croit le récit de Jean Dieudonné.

[Tryss2]

Les mathématiciens ont d'abord introduit un "nombre imaginaire" i, qui vérifie i² = -1, parce que c'était très utile pour résoudre les équations polynomiales de degré 3.

Et on a étudié les nombres complexes z=x+iy. Tu as alors assez naturellement zz' = (x+iy)(x'+iy') = xx'+i²yy' + ixy'+ ix'y, et comme i² = -1, on a zz' = (xx'-yy') + i (xy'+x'y)

Jusque là, rien ne te choque?

Maitenant, si au lieu d'écrire z=x+iy, tu écris z=(x,y) ?

[hbx360]

D'accord je comprends mais rien ne me choque si on en déduit (xx'-yy') + (xy'+x'y) grâce à (xx'-yy') + i (xy'+x'y) la je comprends mieux donc pour moi la démonstration que tu m'as donné Tryss2 me convient.

Merci pour tes explications.
Merci aussi aux autres contributeurs.

[hbx360]

Dans le cours que j'ai, c'est prit à l'envers en faite enfin je pense voilà comment c'est marqué :

La construction rigoureuse de l’ensemble des nombres
complexes n’est pas au programme de ce cours
Il est possible de la faire à partir des couples (x; y) de réels
(ceux-là même qui vont donner x + iy) pour lesquels on définit
des notions de somme et de produit de façon convenable :
(x, y) + (x', y') = (x + x', y + y')
(x, y) . (x', y') = (xx' - yy', xy' + x'y)

Apparemment le prof déduit le x + iy par rapport à :

(x, y) + (x', y') = (x + x', y + y')
(x, y) . (x', y') = (xx' - yy', xy' + x'y)

[Tryss2]

Oui, parce que rigoureusement comment tu défini x+iy ? C'est quoi comme objet mathématique ?

Donc le raisonnement ici c'est "on veut pouvoir définir rigoureusement x+iy, comment on fait?". Et c'est assez naturel de chercher à le définir à partir du couple (x,y) (ce qui est bien défini rigoureusement en théorie des ensembles). Et après, on défini les opérations de façon a obtenir ce que l'on souhaitait obtenir (attention, on doit prouver que ce qu'on a défini comme ça "marche" bien, c'est pas juste lancé en l'air). Et au final, on a gagné une construction rigoureuse de l'objet.

D'ailleurs, ça n'est pas la seule. Une façon très intéressante de le faire, c'est de définir x+iy comme la matrice , et les opérations sont les opérations habituelles sur les matrices.

[hbx360]

Quand on fait (x,y) . (x',y') est-ce que sa veut dire que l'on fait (x + y).(x' +y') ? Comme pour (x + iy).(x' + iy').

[hbx360]

Est-ce que le couple (x,y) on peut le représenté comme ça : x + y ?

[Médiat]

Bonjour,

Cette multiplication des couples n'est qu'un cas particulier de la méthode de Cayley-Dickson :

Soit une algèbre de dimension sur , un anneau ou un corps ; rappelons qu'un anneau (ou un corps) est une algèbre de dimension 1 sur lui-même.


Une algèbre peut être munie d'une involution, appelé conjugaison, compatible avec les opérations interne (lorsque , cette involution est tout simplement l'identité).


Cette involution sera notée avec une barre au-dessus de l'élément à conjuguer, comme il est d'usage dans , (par exemple si , le conjugué de est noté ; dans certains textes il est noté , d'ailleurs, en anglais, une algèbre munie d'une involution est appelé une ).


La conjugaison est une involution, c'est à dire que

La conjugaison est compatible avec les opérations, c'est à dire que et .



Soit est donc un espace vectoriel de dimension sur , l'addition et la multiplication par un scalaire sont parfaitement définies par cette somme directe, mais nous devons préciser la multiplication et l'involution.

La multiplication sur est définie par : .


L’involution sur est définie par :

A partir de IR, cette construction donne les complexes, les quaternions, les octonions, les sédénions etc. …

Quand à votre dernière question, un couple peut s'écrire , étant le vecteur de base de IR, on le note souvent 1, voir on ne le note pas du tout suivant le contexte on peut noter de différentes façons

[hbx360]

Merci pour ta réponse.

[hbx360]

Après relecture des réponses, en fait je me rend compte que je n'arrive pas à bien comprendre cette fameuse multiplication des couples si ont à (x,y) . (x',y') donc on en arrive à ceci : (xx' - yy', xy' + x'y) mais ça c'est un couple en fait est-ce qu'il y a une définition formel ou une méthode pour arrivé à (xx' - yy', xy' + x'y).

Je comprends bien la démarche de passé de faire z=x+iy, tu écris z=(x,y) comme m'a dit Tryss mais c'est la multiplication ensuite qui me pose un problème je ne comprends pas le processus de multiplication, faire :
(x+iy).(x'+iy') ça je comprends on applique la distributivité mais faire ça : (x,y) . (x',y') je ne comprends pas comment on fait le développement. Si quelqu'un pouvait me le détaillé.

De même pour ceci je ne comprends pas comment on passe de (0,1).(0,1) à (-1,0).

[Médiat]

C'est une définition, vous pouvez en inventer autant que vous voulez (il existe d'autres d'ailleurs dans la littérature)

[gg0]

Hbx360,

il n'y a ici aucun mystère. Simplement une application stricte des règles et définitions ( et (x,y) . (x',y') = (xx' - yy', xy' + x'y) est une définition).
Si tu n'acceptes pas les définitions, il vaut mieux laisser tomber, puisque tu n'acceptes pas la règle du jeu.

Cordialement.

NB : Une fois cette définition acceptée, il y a pas mal de calculs pour prouver qu'on a bien défini un corps qui a les propriétés voulues. Mais c'est une autre histoire.
NBB : ce n'est pas la définition des produits de couples, mais une définition d'une opération sur les couples de réels qui va donner ce qu'on veut.

[hbx360]

En fait je ne savait pas que c'était des définitions maintenant je le sait.

@Médiat et @gg0 merci à tous les deux.

[invite86813235]

Peut-être qu'une représentation en coordonnées polaires pourrait t'aider : (x, y) donne (r, t) (norme, angle) et ce que tu appelles multiplication des couples donne (r*r', t+t') qu'on peut voir comme le produit des normes et une rotation. En repassant en coordonnées cartésiennes on obtient bien la formule voulue.

[hbx360]

Ok, merci je regarderais.