sous groupe d'un groupe abélien libre

**frjulien** · 29/09/2018, 23h19

Bonjour
On veut montrer qu'un groupe abélien libre admet des sous-groupes d'indice n, pour tout entier n positif.
Merci d'avance pour vos idées dans ce sujet.

**Tryss2** · 30/09/2018, 00h18

Soit $\text{[math]}$ un élément d'une base de $\text{[math]}$ , ton groupe abélien libre. Alors $\text{[math]}$ (où F est l'ensemble des combinaisons linéaires à coefficient relatifs des autres éléments de la base)

Que penser de $\text{[math]}$ ?

**frjulien** · 30/09/2018, 09h33

Bonjour
Il est clair que n Z.a + F est bien un sous groupe de G avec n entier positif.
Comment justifier que l'indice du sous groupe vaut n .
Merci pour votre idee.

**Tryss2** · 30/09/2018, 12h01

Tu peux revenir à la définition : En notant $\text{[math]}$ , tu montres que $\text{[math]}$ forme une partition de G. Donc tu as exactement n classes à gauche : H, a+H, 2a+H, ... (n-1)a+H

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**Seirios** · 30/09/2018, 12h10

Ou alors, comme tout sous-groupe d'un groupe abélien est distingué, tu peux regarder le cardinal du quotient.

**Tryss2** · 30/09/2018, 12h17

Effectivement, ça n'est pas beaucoup plus couteux de montrer que G/H est isomorphe à Z/nZ (d'autant que c'est pour ça que j'ai choisi/construit H)

**frjulien** · 30/09/2018, 13h54

Merci beaucoup pour vos idees.

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