sous groupe d'un groupe abélien libre

[invitecd18378c]

Bonjour
On veut montrer qu'un groupe abélien libre admet des sous-groupes d'indice n, pour tout entier n positif.
Merci d'avance pour vos idées dans ce sujet.
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[invite23cdddab]

Soit un élément d'une base de , ton groupe abélien libre. Alors (où F est l'ensemble des combinaisons linéaires à coefficient relatifs des autres éléments de la base)

Que penser de ?

[invitecd18378c]

Bonjour
Il est clair que n Z.a + F est bien un sous groupe de G avec n entier positif.
Comment justifier que l'indice du sous groupe vaut n .
Merci pour votre idee.

[invite23cdddab]

Tu peux revenir à la définition : En notant , tu montres que forme une partition de G. Donc tu as exactement n classes à gauche : H, a+H, 2a+H, ... (n-1)a+H

[A voir en vidéo sur Futura]

[Seirios]

Ou alors, comme tout sous-groupe d'un groupe abélien est distingué, tu peux regarder le cardinal du quotient.

[invite23cdddab]

Effectivement, ça n'est pas beaucoup plus couteux de montrer que G/H est isomorphe à Z/nZ (d'autant que c'est pour ça que j'ai choisi/construit H)

[invitecd18378c]

Merci beaucoup pour vos idees.