salut tout le monde
pouvez vous me proposez comment répondre à cet exercice
Exercice 10. Ensembles équipotents
Soient E, F deux ensembles. On dit que :
E est moins puissant que F s’il existe une injection f : E → F ;
E est plus puissant que F s’il existe une surjection f : E → F ;
E et F sont équipotents s’il existe une bijection f : E → F.
1) Démontrer que : (E est moins puissant que F) ⇔ (F est plus puissant que E).
2) Montrer que N, N
∗
, {n ∈ N tq n est divisible par 3}, et Z sont deux à deux équipotents.
3) Démontrer que E est moins puissant que P(E).
4) Soit f : E → P(E) quelconque et A = {x ∈ E tq x /∈ f(x)}. Prouver que A /∈ f(E).
5) Est-ce que E et P(E) peuvent être équipotents ?
6) Soit G un troisième ensemble. Si E est moins puissant que F, démontrer que EG est moins puissant
que F
G
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