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deux ensemble équipotents



  1. #1
    BIG136

    deux ensemble équipotents

    Bonjour,

    Est-ce que A(n)={(x,y) de N² /x+y=n} est équipotent à [[0,n]] ? Pour moi non car un élément de [[0,n]] a plusieurs antécédents dans A. Par exemple 5 a (1,4) et (2,3) dans A.
    la définition :
    Définition : Deux ensembles et sont dits équipotents s'il existe une bijection de sur , c'est-à-dire une application pour laquelle tout élément de admet un unique antécédent.

    Je me trompe ?
    D'avance merci.

    -----


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  3. #2
    BIG136

    Re : deux ensemble équipotents

    Je complète la définition :
    Définition : Deux ensembles E et F sont dits équipotents s'il existe une bijection de E sur F, c'est-à-dire une application pour laquelle tout élément de F admet un unique antécédent.

  4. #3
    Médiat

    Re : deux ensemble équipotents

    Citation Envoyé par BIG136 Voir le message
    un élément de [[0,n]] a plusieurs antécédents dans A.
    Vous n'avez pas défini d'application, donc vous ne pouvez pas parler d'antécédent.

    Un autre point important : la définition de équipotent, c'est qu'il existe une bijection entre les deux ensembles, pas que toutes les applications sont des bijections.

    Vous devez donc définir une application entre A(n) et [[0; n ]] ...
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  5. #4
    BIG136

    Re : deux ensemble équipotents

    Ok, merci beaucoup.
    Dans ce cas en définissant :
    f=2(x,y)
    j'aurais une bijection et A et [[0,n]] seront équipotents. n'est-ce pas?

  6. #5
    Médiat

    Re : deux ensemble équipotents

    Je ne comprends pas votre notation : f=2(x,y)
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    gg0

    Re : deux ensemble équipotents

    Bonjour big36.

    Souvent, il est efficace de regarder ce que donne une définition dans un cas concret. par exemple, pour n=4, qu'est exactement A : Fais la liste de ses éléments.
    Après tout devient complétement évident, la réponse et la façon de la justifier.

    Cordialement.

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  10. #7
    BIG136

    Re : deux ensemble équipotents

    Merci à vous.
    Par f=2(x,y) j'entends :
    une application qui multiplie par deux chaque paire de A.
    pour A5 :
    f(2,3)=(4,6) ; f(1,4)=(2,8); f(0,5)=(0,10).

    Exemple A4 :
    A4={(0,4),(1,3),(2,2)}

    par la fonction , j'aurai F={(0,8);(2,6);(4,4)}

    Je ne vois pas encore.
    Dernière modification par BIG136 ; 03/11/2013 à 12h56.

  11. #8
    gg0

    Re : deux ensemble équipotents

    Ok.

    Pour n=4, [[0,4]] a 5 éléments, si je décode bien la notation. Ton A4 n'en a que 3 ????
    mais tu n'en aurais pas oublié, par hasard ? Comme (5,0) qui n'est évidemment pas la même chose que (0,5).

    Autre chose : Tu cherches une bijection entre An et [[0,n]]. Donc les images par f doivent être dans [[0,n]]. C'est le minimum, avant de se poser la question de savoir si c'est une bijection, non. Or tu proposes des images qui sont des couples !!

    Tu as un exercice très simple, il suffit de bien regarder un exemple, et tu en fais une bouillies de pensées !! Ne te compliques pas la vie, regarde tranquillement ce qui se passe, ce que veut dire ton énoncé.

    Cordialement.

  12. #9
    PlaneteF

    Re : deux ensemble équipotents

    En complément du message précédent de gg0 :

    Une fois que tu auras fini tes essais sur le cas particulier que tu as choisi, tu peux remarquer qu'un élément (x,y) de A(n) s'écrit (x,n-x) avec x entier / 0 <= x <= n

    Maintenant tu dois donner une expression de f(x,n-x), c'est-à-dire associer un entier compris ente 0 et n à (x,n-x) de telle sorte que f soit bijective.

    N.B. : Ce que j'ai mis en gras bleu n'est pas anodin !

    Cordialement
    Dernière modification par PlaneteF ; 03/11/2013 à 13h56.

  13. #10
    BIG136

    Re : deux ensemble équipotents

    Merci beaucoup.
    J'en conclus que (x,y) n'est pas la même chose que (y,x). Et que la fonction doit donner un seul élément à partir de cuoplet (x,y).
    Revenons à A4 :
    A4={(0,4), (4,0), (1,3),(3,1),(2,2)}

    Est-ce complet mon A4 ?
    Et ma fonction que je définis : F(x,Y)=x+2y-4
    soit :
    F(0,4)=8-4=4

    F(1,3)=1+6-4=3
    F(2,2)= 2+4-4=2
    F(3,1)=3+2-4=1
    F(4,0)=4-4=0

    pour ma part je vois une bijection.

    Merci d'avance.

  14. #11
    Médiat

    Re : deux ensemble équipotents

    Oui, c'est bien une bijection, mais vous vous compliquez la vie, si vous utilisez le fait que x+y=4 dans votre cas et n dans le cas général, vous allez tomber sur une bijection, beaucoup plus simple que la votre, et avec un peu de réflexion, vous comprendrez pourquoi, c'est bien une bijection (sans faire aucun calcul).
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  15. #12
    gg0

    Re : deux ensemble équipotents

    En fait, même sans rien changer, on voit que f associe à un couple sa dernière composante.

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  17. #13
    BIG136

    Re : deux ensemble équipotents

    merci encore.
    Avons nous résou le problème ?
    Oui il y a équipotence ?

    Cordialement.

  18. #14
    gg0

    Re : deux ensemble équipotents

    Si tu n'es pas capable de répondre à ces questions, il vaut mieux arrêter !!

  19. #15
    BIG136

    Re : deux ensemble équipotents

    vous m'avez gentillement aidé à comprendre et à trouver une fonction bijective.
    Fn(x,y)=x+2y-n
    J'en suis reconnaissant.
    Pour moi la condition d'existence d'une bijection est remplie. Par conséquent il y a équipotence.

  20. #16
    PlaneteF

    Re : deux ensemble équipotents

    Citation Envoyé par BIG136 Voir le message
    Fn(x,y)=x+2y-n
    Cette fonction convient, mais que son expression est inutilement compliquée !!

    Tu oublies que x+y=n et par substitution tu obtiens :

    f(x,y)=y

    f(x,y)=x convient aussi.

    Ces 2 fonctions se trouvent d'ailleurs de manière directe ! (cf message#9)


    Cdt
    Dernière modification par PlaneteF ; 03/11/2013 à 19h23.

  21. #17
    PlaneteF

    Re : deux ensemble équipotents

    Citation Envoyé par PlaneteF Voir le message
    (cf message#9)
    Et ceux de Médiat et gg0 aussi.
    Dernière modification par PlaneteF ; 03/11/2013 à 19h34.

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