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Paramétrisation d'hyperbole - Fonction cosinus hyperbolique



  1. #1
    The_Anonymous

    Question Paramétrisation d'hyperbole - Fonction cosinus hyperbolique

    Bonjour tout le monde!

    J'ai aujourd'hui 2 questions à propos de la trigonométrie hyperbolique, les voici sans plus tarder :

    Question n°1 :

    "Trouver une paramétrisation à l'aide des fonctions trigonométriques hyperboliques de l'hyperbole ."

    En mettant sous la forme , j'ai pu remarquer une équation de la forme (avec une certaine propriété qui m'est inconnue qui fait que ce n'est pas une ellipse).

    Mais ensuite pour paramétrer avec les fonctions trigonométriques hyperboliques, j'ai déjà eu plus de peine...

    J'ai trouvé un site sur lequel il était dit ce qui suit :

    "L'hyperbole. Puisque pour tout réel , et que, d'autre part, la fonction [Pardonnez-moi le \mapsto] est une bijection de sur , une paramétrisation de la branche d'hyperbole d'équation , , est


    ."

    (Si vous voulez voir la source, c'est ici au point 4.4).

    Donc, je me suis dit que et , dans mon cas, mais il me reste encore ce sur les bras.

    Je me suis donc dit que je pouvais paramétrer l'hyperbole de cette manière :

    .

    Le seul problème, c'est que je ne suis pas très sûr (peut-être parce que je n'ai pas très bien compris comment on passait de à ), et je n'ai pas trouvé de moyen de vérification (Si quelqu'un pouvais m'indiquer comment entrer ce résultat sur Wolfram|Alpha sans que ça le considère comme deux équations à résoudre, ce serait bien sympa ).

    Merci pour tous vos conseils.


    Question n°2 :

    Il s'agit de dire si l'affirmation suivante est vraie ou fausse (et de justifier bien évidemment ) :
    "Le graphe de la fonction cosinus hyperbolique est une parabole."

    Je sais qu'avec les séries de Taylor (pas encore vu en cours), on peut approcher par et je vois bien que sur le graphe, cela ressemble à une parabole, mais en reprenant ma définition (géométrique) d'une parabole qui est le lieu géométrique des points équidistants à un point du plan, je me dis que ce n'est pas une parabole. Mais comment le montrer formellement? Ou comment trouver un contre-exemple concret qui prouve que ce n'est pas une parabole ?

    Merci de votre aide et merci d'avance pour les réponses que vous pourrez me donner!

    Cordialement

    -----


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  3. #2
    gg0

    Re : Paramétrisation d'hyperbole - Fonction cosinus hyperbolique

    Bonjour.

    1) Si tu as, avex X>0 (donc en fait X>=1) tu peux poser X=ch(t) et tu trouves que . Avec le bon choix de signe, X=ch(t) et Y=sh(t).
    Pour la partie négative, il faudra poser X=-ch(t).
    2) Première idée : Tu prends 4 points et tu montres qu'aucune courbe du second degré ne passe par ces 4 points. En prenant le sommet de la courbe, il ne reste qu'à traiter le cas y=ax².
    Deuxième idée : Si la courbe de ch est une parabole de sommet O, d'équation donc y=f(x)=ax², le DL en 0 étant unique ...

    Cordialement.

  4. #3
    The_Anonymous

    Question Re : Paramétrisation d'hyperbole - Fonction cosinus hyperbolique

    Merci pour cette rapide réponse!

    1) Comme dans mon cas , alors je pose , donc . Mais alors pourquoi je ne trouve pas le même résultat qu'avant? Parce que j'avais mal calculé le ?

    Ensuite, , donc .

    Donc, est-ce que la paramétrisation


    est correcte?

    2) Premier idée : 3 points ne suffisent pas? Je croyais que pour le degré 1, il fallait 2 points, et pour le degré 2, 3 points.

    Sinon, je pourrais par exemple les points , , et et , et on remarque que le système



    n'a pas de solution.

    Deuxième idée : Comme passe par , alors l'équation doit être , si j'ai bien compris?
    Mais après, je ne sais pas ce que c'est qu'un DL (pour moi c'est download x) ).

    Si vous voulez bien m'expliquer ce que c'est et me confirmer ou m'indiquer mes erreurs dans la première partie, je vous en serais très reconnaissant.

    Cordialement

  5. #4
    gg0

    Re : Paramétrisation d'hyperbole - Fonction cosinus hyperbolique

    1) fais la vérification !
    2) "3 points ne suffisent pas? Je croyais que pour le degré 1, il fallait 2 points, et pour le degré 2, 3 points." Ben oui ! donc si tu prends 3 points d'abscisses différentes, tu vas tomber sur une parabole !!!
    Pour le DL (développement limité) c'est le début de la série en considérant que la suite est négligeable devant le dernier terme utilisé. mais si tu ne connais pas, laisse tomber.

  6. #5
    The_Anonymous

    Re : Paramétrisation d'hyperbole - Fonction cosinus hyperbolique

    Citation Envoyé par gg0 Voir le message
    1) fais la vérification !
    2) "3 points ne suffisent pas? Je croyais que pour le degré 1, il fallait 2 points, et pour le degré 2, 3 points." Ben oui ! donc si tu prends 3 points d'abscisses différentes, tu vas tomber sur une parabole !!!
    Pour le DL (développement limité) c'est le début de la série en considérant que la suite est négligeable devant le dernier terme utilisé. mais si tu ne connais pas, laisse tomber.
    1) Je voudrais bien, mais je ne sais pas trop comment procéder. J'ai déjà essayer de tracer les deux graphes, mais je n'arrive pas à rentrer la paramétrisation sans que cela cherche comme deux équations à résoudre.
    Sinon, j'essaye de remplacer et par ce que j'ai trouvé, et j'obtiens , donc gros fail.

    Donc il faudrait plutôt définir et et comme ça on aurait à la fin , mais le problème, c'est que du coup, et deviennent complexes à cause de la racine négative (je veux dire qu'on obtient des nombres complexes).

    Je m'égare complètement...

    Pouvez-vous me donner un peu plus d'indications, car ce chapitre m'est difficile et je ne vois pas trop comment vérifier mais d'abord comment trouver un résultat correct.

    2) Oui, effectivement, merci de votre réponse, j'ai compris alors pourquoi on avait besoin de 4 points. Donc mon raisonnement pour "la première idée" est correct ?
    Sinon, pour la deuxième idée, je pense que si la première est correct, on peut laisser tomber vu que je ne connais pas vraiment ce chapitre (m'fin cette propriété) ^^

    Merci d'avance pour votre aide

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    gg0

    Re : Paramétrisation d'hyperbole - Fonction cosinus hyperbolique

    Pour la 1), tu as une équation paramétrique (d'une partie de l'hyperbole, puisque tu n'as pas suivi vraiment ce que je disais). Il te suffit d'éliminer le paramètre t; ce qui devrait arriver tout seul en calculant 3x²-2y².
    Si ça ne marche pas, tu peux conclure...

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  10. #7
    The_Anonymous

    Smile Re : Paramétrisation d'hyperbole - Fonction cosinus hyperbolique

    Citation Envoyé par gg0 Voir le message
    Pour la 1), tu as une équation paramétrique (d'une partie de l'hyperbole, puisque tu n'as pas suivi vraiment ce que je disais). Il te suffit d'éliminer le paramètre t; ce qui devrait arriver tout seul en calculant 3x²-2y².
    Si ça ne marche pas, tu peux conclure...
    Pour votre dernière phrase, j'ai déjà compris que mon résultat était faux ^^

    Ensuite, je n'avais pas encore vu ça, mais maintenant je comprends qu'en posant X=ch(t), on a la branche du côté positif, et en posant X= - ch(t), on a la branche du côté négatif.

    Je vais reprendre mon raisonnement, pour voir où est mon erreur.

    L'équation de base est , qui est équivalent à .

    Le truc, c'est qu'on vient de voir les hyperboles, donc on est pas super au sujet, mais j'ai compris que quand c'était de la sorte , c'était "à gauche, à droite" (c'est pas scientifique mais juste pour dire que les branches ont un axe de symétrie de x=0), et quand c'est , c'est "en haut, en bas" (symétrie d'axe y=0).

    Or, je suis dans le deuxième cas, et b=(1/3), a=(1/2).

    Ensuite, j'ai fait confiance au site ci-dessus et j'ai cru que était équivalent à .


    Mais bon, je vais plutôt essayer de me faire un raisonnement à moi.

    J'ai compris qu'on pouvait paramétrer l'hyperbole d'équation en

    .

    De même, se paramètre en .

    Or, dans mon cas, et , donc la paramétrisation est
    , ou alors

    .

    Ça, ça me parait juste

    En vérifiant, j'obtiens bien ce qui est correct .

    Ma solution me parait donc pas mal ^^

    Mais ensuite vous me dites d'éliminer ce ... Mais pourquoi? Ne veut-on donc pas une paramétrisation?

    Merci d'avance pour votre réponse

  11. #8
    gg0

    Re : Paramétrisation d'hyperbole - Fonction cosinus hyperbolique

    Relis le passage où j'en parlais ...

  12. #9
    The_Anonymous

    Re : Paramétrisation d'hyperbole - Fonction cosinus hyperbolique

    Citation Envoyé par gg0 Voir le message
    Relis le passage où j'en parlais ...
    Dans le passage de la vérification, c'est-à-dire qu'on l'élimine en calculant qui est vrai pour tout réel t ?

  13. #10
    gg0

    Re : Paramétrisation d'hyperbole - Fonction cosinus hyperbolique

    Tu lis vraiment ?

    Tu dois vérifier que tes points paramétrés sont bien sur la courbe.

  14. #11
    The_Anonymous

    Re : Paramétrisation d'hyperbole - Fonction cosinus hyperbolique

    Bah je veux pas vous contredire, mais il me semble que c'est ce que j'ai fait... J'ai calculé 2y^2 -3x^2 en remplaçant x et y par les valeurs trouvées dans la paramétrisation et je trouve par l'égalité dans #9 le résultat "6", ce qui concorde avec l'énoncé.

    Je comprends pas quelle vérification autre / autrement vous voulez faire.

  15. #12
    gg0

    Re : Paramétrisation d'hyperbole - Fonction cosinus hyperbolique

    Ben .. c'est toi qui voulais faire plus (message #7)

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  17. #13
    The_Anonymous

    Re : Paramétrisation d'hyperbole - Fonction cosinus hyperbolique

    Citation Envoyé par gg0 Voir le message
    Ben .. c'est toi qui voulais faire plus (message #7)
    Encore un malentendu

    Bref, merci énormément pour ton aide et à bientôt!

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