Ordre demi-entier Théorème des résidus

[stichou]

Bonjour à tous,

Je fais appel à vous car depuis hier je bloque sur un calcul d'intégrale et j'ai besoin de la confirmation d'un mathématicien . Je m'excuse d'avance pour ne pas vérifier de façon rigoureuse l'ensemble des hypothèses mais j'utilise le Théorème des résidus de façon effective comme un physicien

Je dois calculer une intégrale du type :
Après lecture d'un article wikipédia : où
On obtient finalement :
où et (avec mes paramètres) et dépend de a et b bien sûr.

Ce qui me gêne est que la formule donnant le résidu est : pour les pôles d'ordre n où n est entier. Sauf que dans mon cas le pôle est d'ordre .

J'ai essayé de réecrire f sous la forme : et ai ensuite considéré que le pôle est d'ordre 2 mais le résidu diverge lorsque j'applique la limite en . Afin de résoudre ce problème je peux réecrire f sous la forme : et considérer que le pôle est d'ordre 3 mais ça me semble un peu tiré par les cheveux et je ne veux pas faire des calculs fastidieux sans être sûr que c'est la bonne méthode et que je suis bien "autorisé" à recourir à ce type d'astuce.

Je voudrais donc vous demander :
- si mon intégrale est bien calculable ?
- si la méthode que j'utilise est la bonne ?

Merci d'avance !
Steven
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[stefjm]

Méthode à la physicien : https://www.wolframalpha.com/input/?...s(x))%5E3,x%5D

[stichou]

Super ! Merci beaucoup Stefim !

Est-ce que par hasard tu aurais une méthode de calcul à la "main" ? Juste par curiosité

[eudea-panjclinne]

puisque la fonction à intégrer est de période Pi.

puisque la fonction à intégrer est paire.
Le changement de variables: donne

C'est une intégrale elliptique, ce qu'on reconnait au radical d'un polynôme du 4e degré au dénominateur.
D'une façon général, ce n'est pas exprimable (donc calculable) avec des fonctions élémentaires, sauf exception.

[A voir en vidéo sur Futura]

[stefjm]

Est-ce que par hasard tu aurais une méthode de calcul à la "main" ? Juste par curiosité

Je ne sens pas du tout cette histoire de pôles d'ordre 3/2, dans le sens où je n'ai jamais rien vu de tel avec la méthode des résidus...

[eudea-panjclinne]

Le problème est justement la puissance 3/2 au dénominateur. Le passage dans le plan complexe fait apparaître une fonction multiforme pour lequel le théorème des résidus n'est plus applicable, tout au moins de façon élémentaire.

[albanxiii]

Bonjour,

Sauf que dans mon cas le pôle est d'ordre .

En fait, non, ça n'est pas un pôle. Voir la réponse de eudea-panjclinne. La fonction que vous cherchez à intégrer a un point de branchement (comme la fonction racine carrée, par exemple), elle est définie dans un plan fendu. Elle n'est donc pas méromorphe et vous ne pouvez pas appliquer le théorème des résidus.

(Pour le cas général, en cas de doute revenez à la définition du résidu, et calculez la série de Laurent centrée sur la singularité de votre fonction).

[stichou]

Merci stefjm, eudea-panjclinne et albanxiii pour vos réponses. Je dois avouer que j'utilisais ce Théorème tant qu'il marchait sans vérifier scrupuleusement les hypothèses, que je ne comprends pas forcémment, mais maintenant je crois que je n'ai plus le choix

Encore merci pour votre aide et bonne journée !