Répondre à la discussion
Affichage des résultats 1 à 24 sur 24

Raisonnement par récurrence




  1. #1
    Ingenil

    Raisonnement par récurrence

    Bonjour,

    J'ai toujours quelques problèmes dans certaines partie des mathématiques. Le raisonnement par récurrence en fait toujours partie, et j'aimerais que ce ne soit plus jamais le cas.

    Donc voilà, dans le raisonnement par récurrence, il y a une partie Initialisation, une partie Hérédité et une partie Conclusion.

    La partie Initialisation généralement ça ne me pose jamais de problème. Mais dans ce cas, pour les trois d'après la correction que j'ai on doit partir de n = 1. Pourquoi n = 1 et pas n = 0 ?
    Ensuite pour le partie Hérédité on doit montrer pour les trois que P(n+1) est vrai et là je comprend pas comment on en déduit que P(n+1) est vrai. Je ne sais pas si je m'explique correctement.

    L'exercice :




    Merci

    -----

    Dernière modification par Ingenil ; 01/10/2018 à 15h13.

  2. Publicité
  3. #2
    gg0

    Re : Raisonnement par récurrence

    Bonjour.

    Pour ta première question, il serait bien d'apprendre à lire complétement les énoncés. Ils disent tous qu'on commence à n=1, lis !
    Pour la deuxième question, il est utile de définir ce que tu appelles P(n), de l'énoncer explicitement, pour pouvoir définir clairement P(n+1) afin de démontrer que "si P(n), alors P(n+1)". Ce qui est en soi un exercice de mathématiques, à trouver seul.
    A toi de faire, sur le premier exercice ...

    Cordialement.

  4. #3
    Ingenil

    Re : Raisonnement par récurrence

    Arrivé à cette étape, on s'arrête ? D'ailleurs ici j'ai rencontrer une difficulté, c'est de mettre directement n+1 au n déjà present que de mettre un + (n+1) ?

    Dernière modification par Ingenil ; 01/10/2018 à 19h34.


  5. #4
    ansset

    Re : Raisonnement par récurrence

    bjr,
    pourquoi ne pas finir le calcul.
    il faut montrer que P(n+1) est vraie, donc que la formule s'applique au rang n+1.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  6. #5
    gg0

    Re : Raisonnement par récurrence

    Ingenil, lis-tu les réponses ???
    je te disais "il est utile de définir ce que tu appelles P(n), de l'énoncer explicitement"; tu ne l'as pas fait, tant pis pour toi, reste dans le flou, si tu y es bien. Mais ne demande pas de l'aide ...

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    PlaneteF

    Post Re : Raisonnement par récurrence

    Bonsoir,

    Ingenil, ... Franchement évite d'écrire 1+2+3+...+1 = 1, ... ça ne le fait pas du tout !

    Cordialement
    Dernière modification par PlaneteF ; 01/10/2018 à 22h31.

  9. #7
    ansset

    Re : Raisonnement par récurrence

    euphémisme, c'est carrément inadmissible.
    à se demander si Ingenil a compris la signification mathématique de l'écriture :
    1+2+3+...+n qu'on peut appeler S(n) si cela peut l'aider à formaliser et finir proprement son exercice.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  10. Publicité
  11. #8
    Ingenil

    Re : Raisonnement par récurrence

    Citation Envoyé par ansset Voir le message
    euphémisme, c'est carrément inadmissible.
    à se demander si Ingenil a compris la signification mathématique de l'écriture :
    1+2+3+...+n qu'on peut appeler S(n) si cela peut l'aider à formaliser et finir proprement son exercice.
    1 + 2 +3 + ... + 1 , c'est une série d'entier? Mais comme ça veut dire de 1 allant jusqu'à 1, on peut tout simplement juste écrire 1 ?

  12. #9
    Ingenil

    Re : Raisonnement par récurrence

    et P(n) : 1 +2 + 3 + ... + n = n(n+1) / 2

  13. #10
    ansset

    Re : Raisonnement par récurrence

    Citation Envoyé par Ingenil Voir le message
    et P(n) : 1 +2 + 3 + ... + n = n(n+1) / 2
    S(n)=1+2+3+...n
    et P(n) est donc une propriété de S(n) qu'il faut démontrer par récurrence.
    celle ci dit
    S(n)=n(n+1)/2
    l'initialisation est donc bien
    S(1)=1=1(1+1)/2, donc P(1) est vraie
    ensuite montrer que si P(n) est vraie, alors P(n+1) est vraie.
    ce qui passe par le calcul de S(n+1) que tu a commencé à faire sans finir par démontrer l'égalité recherchée.
    laquelle est ce ?
    Dernière modification par ansset ; 02/10/2018 à 04h44.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  14. #11
    mahoumaru

    Re : Raisonnement par récurrence

    A part pour le 1+2+...+1, Ingenil, il me semble que tu as parfaitement compris le mécanisme de fonctionnement de la démonstration par récurrence!

    Comme l'ont déjà dit les VdD, il faut juste que tu termines et que tu arranges ton dernier résultat! (il faut garder à l'esprit que ce que tu veux démontrer, c'est [1+2+...+n = n(n+1)/2]! Donc, pour n+1, ce que tu dois obtenir à la fin, c'est une équation avec tous les n remplacés par n+1, soit [1+2+...+n = (n+1)(n+1+1)/2)]! Ce que tu peux obtenir en ajoutant juste une ligne à ta démonstration ci-dessus, et ensuite, tu n'auras plus qu'à conclure sur la véracité du prédicat!

  15. #12
    ansset

    Re : Raisonnement par récurrence

    quel dommage que tu lui fasses son travail.
    car justement, ce qui "bloquait" était justement d'écrire ce que devait être S(n+1) pour valider P(n+1)
    ce n'est pas pour rien qu'Ingenil nous dit clairement en préambule que c'est justement ce principe du passage du rang n au rang n+1 qui lui pose un pb conceptuel dans ses raisonnements par récurrence.

    donc, non, je ne pense pas du tout qu'il(elle) a "parfaitement compris le mécanisme".
    ps: en plus , tu fais une faute de frappe dans ta deuxième formule ou tu as oublié le terme en n+1 dans la somme à gauche de l'égalité......de quoi s'y perdre.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  16. #13
    mahoumaru

    Re : Raisonnement par récurrence

    Mon erreur! J'ai pensé que c'était mieux de lui expliquer ce qu'il doit faire pour terminer le processus! Une fois compris ça, il pourrait traiter les autres exercices sans problèmes (et justement, comme il le dit, l'écriture finale est ce qu'il ne comprenait pas)!

    Franchement désolé! (impossible d'éditer)
    Dernière modification par mahoumaru ; 02/10/2018 à 05h27.

  17. #14
    ansset

    Re : Raisonnement par récurrence

    pô grave,
    on verra bien s'il a enfin saisi pour finir ce premier exo, et si c'est le cas, les autres devraient être proprement abordés.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  18. #15
    albanxiii

    Re : Raisonnement par récurrence

    Bonjour,

    Quand vous arrivez à (message #3), vous ne voyez pas comment terminer le calcul ? Vous n'avez jamais factorisé une expression ?
    Not only is it not right, it's not even wrong!

  19. #16
    ansset

    Re : Raisonnement par récurrence

    Je suppose que si , bien sur ( en math du sup ! )
    le soucis est, il me semble, qu'il(elle) n'avait pas compris à quel résultat il devait parvenir.
    ( le principe en quelque sorte )
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  20. #17
    stefjm

    Re : Raisonnement par récurrence

    Citation Envoyé par ansset Voir le message
    Je suppose que si , bien sur ( en math du sup ! )
    Et bien, je suppose plutôt que non.
    Mon expérience des bacheliers actuels
    Moi ignare et moi pas comprendre langage avec «hasard», «réalité» et «existe».

  21. #18
    Ingenil

    Re : Raisonnement par récurrence

    Citation Envoyé par stefjm Voir le message
    Et bien, je suppose plutôt que non.
    Mon expérience des bacheliers actuels
    Eh bien, j'espère que ce ne sera plus le cas car vous apprendrez à vos bacheliers la factorisation correctement et que même celui qui a le plus de difficultés dans la classe réussira sans problème.

    Je sais factoriser, ce n'est pas ça le problème, mais le passage de n à n+1 dans la récurrence. J'ai du mal à faire le début de n+1 et la fin. Je vais essayer tout à l'heure. Merci
    Dernière modification par Ingenil ; 02/10/2018 à 08h09.

  22. #19
    ansset

    Re : Raisonnement par récurrence

    la question à te poser est :
    quel résultat dois tu obtenir pour S(n+1) , soit 1+2+3+...+n+(n+1) pour dire que P(n+1) est vrai sachant que P(n) est supposée vraie.
    tu avais fait la quasi totalité du calcul.
    ne manquait plus que de le formaliser avec la bonne écriture.
    (et mahoumaru te la clairement donnée en plus )
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  23. #20
    gg0

    Re : Raisonnement par récurrence

    Franchement, remplacer n systématiquement par n+1 dans l'hypothèse P(n) clairement exprimée, ça ne demande aucune intelligence, seulement de la méthode, de la volonté. Ensuite, on cherche comment le faire.
    P(n) : 1 +2 + 3 + ... + n = n(n+1) / 2
    donc
    P(n+1) : ....

  24. #21
    jacknicklaus

    Re : Raisonnement par récurrence

    Oui, mais ce n'est pas si évident quand on voit çà pour la 1ère fois. je propose une rédaction aussi propre que possible, pour le 1er des 3 problèmes.
    Le point difficile, selon moi, est de clarifier ce qu'on cherche à prouver, et les objets manipulés.

    Donc on s'intéresse à prouver que 1+2+...+n = n(n+1)/2
    Je pose
    S(n) = 1+2+...+n
    F(n) = n(n+1)/2
    et j'appelle P(n) la propriété suivante : S(n) = F(n)

    établir la récurrence consiste à prouver :
    P(1) vrai
    si P(n) vrai alors P(n+1) vrai.

    S(1) = 1
    F(1) = 1
    donc P(1) vrai.


    supposons P(n) vrai pour un n donné.
    alors S(n) = F(n) = n(n+1)/2

    or S(n+1), par définition de S, est 1+2+...+n+n+1 = (1+2+...+n)+(n+1)
    = S(n) + (n+1) par définition de S
    = F(n) + (n+1) par hypothèse de récurrence
    = n(n+1)/2 + (n+1) = (n+1)(n/2 + 1) = (n+1)(n+2)/2
    = F(n+1) par définition de F
    donc P(n+1) vrai.




    avec un peu d'habitude, on fera plus concis, bien sûr...
    There are more things in heaven and earth, Horatio, Than are dreamt of in your philosophy.

  25. #22
    gg0

    Re : Raisonnement par récurrence

    Heu ...Ingenil ne voit pas le raisonnement par récurrence pour la première fois. Mais en tout cas, il a réussi à avoir un corrigé de son premier exercice

    Cordialement.

  26. #23
    ansset

    Re : Raisonnement par récurrence

    tu veux dire un corrigé totalement exhaustif, car il avait déjà tous les éléments pour écrire sa démo proprement ( et plutôt deux fois qu'une )
    mais au moins maintenant, difficile de venir expliquer qu'on en comprend pas le principe.
    attendons les autres exercices.
    cordialement.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  27. #24
    stefjm

    Re : Raisonnement par récurrence

    Citation Envoyé par Ingenil Voir le message
    Eh bien, j'espère que ce ne sera plus le cas car vous apprendrez à vos bacheliers la factorisation correctement et que même celui qui a le plus de difficultés dans la classe réussira sans problème.
    Dans le supérieur, ce n'est pas mon problème mais celui du bachelier.
    Je vous rassure, je vois bien pire...
    Moi ignare et moi pas comprendre langage avec «hasard», «réalité» et «existe».

Sur le même thème :

Discussions similaires

  1. Raisonnement par récurrence.
    Par TerminaleS35 dans le forum Mathématiques du collège et du lycée
    Réponses: 2
    Dernier message: 11/09/2013, 12h55
  2. Raisonnement par récurrence
    Par jmonka dans le forum Mathématiques du collège et du lycée
    Réponses: 4
    Dernier message: 21/04/2013, 20h30
  3. raisonnement par récurrence
    Par topcase dans le forum Mathématiques du collège et du lycée
    Réponses: 7
    Dernier message: 17/10/2012, 11h47
  4. Raisonnement par récurrence
    Par chalut dans le forum Mathématiques du collège et du lycée
    Réponses: 8
    Dernier message: 04/10/2012, 18h50
  5. Le raisonnement par récurrence.
    Par Electrofred dans le forum Mathématiques du collège et du lycée
    Réponses: 9
    Dernier message: 23/02/2007, 06h27