Continuité par morceaux

[mehdi_128]

Bonsoir,

Je crois que je n'ai pas réellement compris la notion de continuité par morceaux. Voici le graphique sur lequel je m'appuie :

cpm.png

Le gros problème est si je veux prolonger ma fonction continue par morceaux par continuité, je vais faire quoi des points placés en de la subdivision ?

SI je note la fonction définie sur avec ici

J'ai : si , et

La fonction prolongée par continuité ne prend pas en compte ces points rouges ? Pourquoi ?

Pourquoi on pourrait pas prendre dans cet exemple : égal à la valeur de l'ordonnée du premier point rouge et égal à la valeur de l'ordonnée du deuxième point rouge.
Une telle fonction serait-t-elle continue ?
-----

[invite9dc7b526]

Le gros problème est si je veux prolonger ma fonction continue par morceaux par continuité, je vais faire quoi des points placés en de la subdivision ?

mais qui a dit que toute fonction pouvait être rendue continue juste en changeant ses valeurs en quelques points isolés? Manifestement les fonctions que tu montres ne peuvent pas l'être.

[mehdi_128]

Dans mon livre il est écrit que toute fonction continue par morceaux peut être prolongeable par continuité.

[mehdi_128]

Il est écrit dans mon livre que toute fonction continue par morceaux sur un segment est bornée et atteint ses bornes.

c1.png

c2.png

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite51d17075]

Dans mon livre il est écrit que toute fonction continue par morceaux peut être prolongeable par continuité.

sur chaque morceau, pas sur l'ensemble du domaine de def !

[mehdi_128]

D'accord mais pourquoi l'auteur dit que le majorant de |f| est atteint ? Je vois pas d'où ça sort.

Le majorant de la fonction prolongée est atteint car elle est continue sur un segment donc bornée et elle atteint ses bornes mais pas la fonction initiale f !

[pm42]

D'accord mais pourquoi l'auteur dit que le majorant de |f| est atteint ? Je vois pas d'où ça sort.

Le majorant de la fonction prolongée est atteint car elle est continue sur un segment donc bornée et elle atteint ses bornes mais pas la fonction initiale f !

C'est expliqué en détail dans le cours que tu as posté. Avec la démo.

Essaie de lire.

[mehdi_128]

Ca fait 2 jours que je suis dessus.

J'ai compris comment trouver M mais je vois pas pourquoi M est forcément atteint.

[pm42]

Ca fait 2 jours que je suis dessus.
J'ai compris comment trouver M mais je vois pas pourquoi M est forcément atteint.

Le fait que tu sois nul en maths est clairement quelque chose auquel personne ne peut rien comme le prouvent les n posts par jour commençant par "je n'ai pas compris".

[gg0]

Mehdi,

tu as raison de demander, car ce qui est dit dans ton livre est faux. prenons par exemple la fonction f définie sur [0;1] par f(0)=f(1)=0 et f(x)=x-0,5 pour 0<x<1; elle est continue par morceaux sur [0;1] mais n'atteint pas ses bornes.

Si c'est toujours le même livre que tu lis, il est temps de le mettre de côté et de prendre un ouvrage sérieux; ça fait déjà au moins trois fois qu'il y a un problème !

Cordialement.

[mehdi_128]

Le fait que tu sois nul en maths est clairement quelque chose auquel personne ne peut rien comme le prouvent les n posts par jour commençant par "je n'ai pas compris".

Bah je n'ai pas de prof j'étudie seul dans un livre, normal que je comprenne pas certaines choses.

[mehdi_128]

Mehdi,

tu as raison de demander, car ce qui est dit dans ton livre est faux. prenons par exemple la fonction f définie sur [0;1] par f(0)=f(1)=0 et f(x)=x-0,5 pour 0<x<1; elle est continue par morceaux sur [0;1] mais n'atteint pas ses bornes.

Si c'est toujours le même livre que tu lis, il est temps de le mettre de côté et de prendre un ouvrage sérieux; ça fait déjà au moins trois fois qu'il y a un problème !

Cordialement.

Plus que 3 fois (en 400 pages)

Vous me conseillez quoi comme ouvrage sérieux avec les démos dedans ? (niveau MPSI nouveau programme)

Concernant votre fonction :

Et il n'est pas atteint vous avez raison.

Après comment montrer proprement que le Sup vaut 0,5 ? Je sais que c'est le plus petit des majorants mais je sais pas le démontrer rigoureusement.

[gg0]

Et là tu avais parfaitement vu un problème. Ce qui te manque, c'est l'habitude de regarder des exemples, d'essayer de construire des contre-exemples, pour creuser la question toi-même, et conclure.
Si tu utilises plusieurs bouquins, tu peux voir ce que d'autres disent; et si tu ne retrouves pas la propriété dans les autres bouquins, elle est douteuse (mais pas nécessairement fausse).

Cordialement.

NB : "le théorème 99 peut s'étendre ..." est peut-être vrai (on ne sait pas ce qu'il est), ce qui est faux, c'est qu'une fonction continue par morceaux atteint ses bornes.

[gg0]

Je ne connais pas les bouquins sur les programmes actuels, mais tu dois pouvoir trouver chez les bouquinistes des ouvrages pour MPSI ancien programme un peu plus sérieux que le tien. Pour préparer l'agreg interne, j'avais acheté un livre d'algèbre, je l'ai mis de côté dès que j'y ai trouvé une grosse erreur : On ne peut pas avoir confiance en l'auteur.

Pour montrer que le su est 0,5, il te suffit, comme pour tout sup, de montrer que c'est un majorant et qu'aucun nombre plus petit n'est un majorant. Ou que tous les majorants sont supérieurs à 0,5. N(est-ce pas la définition de la borne supérieure ? C'est bizarre que tu poses cette question, ça revient à dire "je ne sais pas ce qu'est une borne supérieure", alors que ton travail actuel en parle abondamment.

Cordialement.

[mehdi_128]

J'ai compris ce qu'est une borne supérieure mais il me manque les méthodes pour le démontrer.
En gros si 0,5 est la borne supérieure alors tout nombre plus petit du genre 0,5-a avec a>0 n'est pas un majorant.

Utiliser la caractérisation de la borne sup revient aussi très souvent dans les démo, la caractérisation séquentielle ou avec les suites.

[mehdi_128]

C'est difficile l'agreg interne quand je vois le sujet 2018 il fait peur d'Analyse, la dernière partie ça devient des maths de haut niveau
Vous l'avez eu du premier coup ?

Voici le théorème 99 :

[invite51d17075]

pardon, mais dans l'article cité au post #4 ce sont les fi(x) qui sont concernées, c_a_d les prolongements par continuité sur chaque intervalle fermé.
et chacune de celle-ci est continue, bornée et atteint son majorant.

[invite982dd8e4]

Vous me conseillez quoi comme ouvrage sérieux avec les démos dedans ? (niveau MPSI nouveau programme)

La collection "J'intègre" de Monier chez Dunod.

[mehdi_128]

La collection "J'intègre" de Monier chez Dunod.

Les démos sont bien expliquées ?

J'ai perdu 3 mois avec ce livre, je serai jamais prêt pour le CAPES j'en était à la moitié du programme d'Analyse.

[gg0]

Effectivement,

l'agreg interne est plus exigeante que le capes, sans oublier que la concurrence y est devenue rude. Et oui, je l'ai eue du premier coup, mais ça date de plus de 20 ans.
Pour le capes, comme on est censé avoir un M1 dans la discipline, les questions que tu travailles actuellement sont supposées connues, ainsi que les programmes de lycée et BTS. Bien évidemment, si tu n'as pas le niveau, il faut l'acquérir.

[invite982dd8e4]

Oui, mais certains exercices et certaines démonstration sont difficiles à comprendre à la première lecture. Mais le mieux est d'avoir plusieurs ouvrages pour varier les angles de vue.
Est-il possible d'avoir les références de ton livre histoire de ne pas tomber dessus un jour ??

[invite51d17075]

La collection "J'intègre" de Monier chez Dunod.

je crois que celle de Dany-Jack Mercier est pas mal du tout. ( et récente ; 3 ou 4 tomes ) ; mais assez chère.
il s'agit bien sur de la préparation spécifique au Capes ( écrit ET oral)
l'oral étant un exercice assez spécifique et pas trivial.

[mehdi_128]

je crois que celle de Dany-Jack Mercier est pas mal du tout. ( et récente ; 3 ou 4 tomes ) ; mais assez chère.
il s'agit bien sur de la préparation spécifique au Capes ( écrit ET oral)
l'oral étant un exercice assez spécifique et pas trivial.

Il n'y a pas le cours avec démonstration dans les livres de Mercier

Juste les exos corrigés ou les méthodes

[mehdi_128]

Oui, mais certains exercices et certaines démonstration sont difficiles à comprendre à la première lecture. Mais le mieux est d'avoir plusieurs ouvrages pour varier les angles de vue.
Est-il possible d'avoir les références de ton livre histoire de ne pas tomber dessus un jour ??

Analyse MPSI De Boeck Gilles Costantini.

J'ai du croiser 10 erreurs en 400 pages dans les démos dont un exo corrigé complètement faux.

[invite51d17075]

Il n'y a pas le cours avec démonstration dans les livres de Mercier

Juste les exos corrigés ou les méthodes

exact, mais ça peut être complémentaire.
tout dépend de ce que tu cherches.
mais j'avais peut être mal saisi ta question.
reste aussi celui sur l'oral , épreuve qu'il ne faut pas sous estimer.

[mehdi_128]

Pour l'instant je veux revoir le cours de maths MPSI pour l'écrit avec un livre sérieux cours + démonstration en Analyse / Algèbre et Proba.

L'oral je verrai après.

[mehdi_128]

Le livre J'intègre a l'air bien tout le programme de MPSI en 1500 pages et un seul ouvrage.
Edition Février 2018 donc super récente.

[invite51d17075]

Concernant votre fonction :

Et il n'est pas atteint vous avez raison.

Après comment montrer proprement que le Sup vaut 0,5 ? Je sais que c'est le plus petit des majorants mais je sais pas le démontrer rigoureusement.

en utilisant justement le prolongement par continuité de f aux bornes ( en 0 et 1 )
on note en général cette fonction f^{^} ( en fait le chapeau est sur le dessus )
Il est clair que f^{^}(0)=-0,5 et f^{^}(1)=0,5.
cette fonction est continue ( par construction ) et strictement croissante sur [0,1].
On en déduit donc que Min(f^{^}(x))=-0,5 et Max(f^{^}(x))=0,5
De plus f(0)>-0,5 et f(1)<0,5
Ces deux valeurs sont donc bien le plus grand Minorant et le plus petits Majorant de f sur l'ensemble de l'intervalle.

[invite51d17075]

demo alternative :
f est continue et strictement croissante sur ]0;1[

donc 0,5 est le plus petit Majorant de f.
et idem ( de manière réciproque ) en 0

[invite51d17075]

Pour en revenir à l'erreur d'écriture dans ta pièce jointe ( post #4)
Il est dit

Ce réel M est un majorant de |f| et il est atteint

La phrase est fausse car incomplète , même si la phrase précédente était, elle, juste.
Le fait est qu'il est certes "atteint" , mais pas par |f| seule, ce que laisse supposer la phrase , car ( et c'est bien écrit au dessus ), il faut y inclure tous les sup des fonctions |fi| ( prolongements de f sur chaque intervalle fermé )