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Matrices/Vecteurs linéairement indépendants




  1. #1
    mahoumaru

    Matrices/Vecteurs linéairement indépendants

    Salut,
    J'ai un problème avec un exercice d'algèbre linéaire :
    Soit une matrice A telle que A =\= 0, A2=0 et Ax=0.
    On demande de pouver que A et x sont indépendants !

    Je crois savoir que pour montrer l'indépendance il faut montrer que si on a kA + jx = 0 alors k = j = 0! Mais comment appliquer ça dans cet exercice ?

    Merci pour votre aide !

    Le symbole "=/=" c'est pour "different de".

    -----


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  3. #2
    gg0

    Re : Matrices/Vecteurs linéairement indépendants

    Bonjour.

    Ton énoncé n'a pas de sens, on ne sait pas qui est x. Généralement, dans ce genre d'exercices, x désigne un vecteur, auquel peut s'appliquer la matrice. mais alors il n'est pas dans le même espace que A et "indépendant" ne veut rien dire.
    Donc donne l'énoncé complet de ton exercice (c'est parfois l'occasion de se rendre compte qu'on sait faire, ayant oublié une hypothèse).

    Cordialement.

  4. #3
    minushabens

    Re : Matrices/Vecteurs linéairement indépendants

    J'imagine qu'il faut montrer que x et Ax sont indépendants (?)


  5. #4
    gg0

    Re : Matrices/Vecteurs linéairement indépendants

    Heu ... Ax étant nul, ils ne le sont pas, (x,Ax) est liée.

    Cordialement

  6. #5
    minushabens

    Re : Matrices/Vecteurs linéairement indépendants

    ah oui c'est juste. Mais si Ax!=0 et si AA=0 alors x et Ax sont indépendants.

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    mahoumaru

    Re : Matrices/Vecteurs linéairement indépendants

    Salut,

    Merci pour vos réponses! L'énoncé est complet. Mais il se peut qu'il y ait bien une erreur! Sinon, vu qu'on demande l'indépendance de A et de x (et non Ax), alors cela veut dire que x n'est effectivement pas un vecteur (comme ce que tu expliques, gg0, dans ton premier post).

    Personnellement, j'ai pensé que puisque Ax = 0 et que AA = 0, alors quelque soient les réels k et m, on a kAA + mAx = 0 Ce qui veut dire que A(kA+mx) = 0! Vu que A!=0, on obtient trois possibilités: kA+mx = A ou kA+mx = x ou kA+mx = 0
    C'est ce dernier cas qui nous intéresse pour l'indépendance (donc c'est là que ça commence vraiment)!
    Du coup, on a kA+mx = 0 implique que kA = -mx Or, on a (kA)x = 0 [en effet, (kA)x = k(Ax) = 0]! Du coup, (kA)x = (-mx)x = -mxx = 0!
    Or, à moins que A = x, ce résultat nous conduit à dire que m = 0! Et si m = 0, alors de l'équation kA = -mx, on obtient kA = 0, d'où k = 0 puisque A != 0!

    A et x sont donc bel et bien indépendants, sous réserve que A != x et bien sûr que x != 0

    *J'ai mis les équations en gras pour plus de lisibilité! Est-ce que ça tient comme raisonnement? Merci.

  9. #7
    ansset

    Re : Matrices/Vecteurs linéairement indépendants

    je n'y comprend rien ( au calcul ) et l'objection initiale de gg0 reste valable.
    si x n'est pas un vecteur, c'est quoi ? une matrice ?
    je mets une pièce sur deux erreurs dans l'énoncé. ( tel qu'il est écrit )
    il s'agit de l'indépendance de x et Ax ( x vecteur )
    et Ax non nul justement.
    et là ça roule tout seul.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

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  11. #8
    albanxiii

    Re : Matrices/Vecteurs linéairement indépendants

    Citation Envoyé par mahoumaru Voir le message
    alors quelque soient les réels k et m, on a kAA + mAx = 0
    Vous additionnez une matrice et un vecteur, ça ne peut pas marcher.
    Not only is it not right, it's not even wrong!

  12. #9
    mahoumaru

    Re : Matrices/Vecteurs linéairement indépendants

    Salut,

    Je tiens à préciser qu'il n'est pas dit que x est un vecteur! En fait, il n'y a rien de dit sur x (ce que souligne d'ailleurs gg0 dans son premier post)!
    Il est en effet possible qu'il y ait une erreur dans l'exercice! Mais ce que j'aimerais savoir, c'est si mon raisonnement ci-dessus est erroné et ce qui clocherait dedans!

    Il ne faut pas partir du principe que x est un vecteur. Vu que l'exercice demande de montrer qu'ils sont indépendants, c'est qu'ils sont dans le même espace et donc l'énoncé suppose de lui-même que x est aussi une matrice de même taille que A!

    Après, si on a AA = 0 et Ax = 0, il serait en effet logique de prime à bord de penser que x, s'il n'est pas un vecteur, est égal à A, ce qui les lie! Néanmoins, on peut montrer que x n'est pas forcément égal à A (voir ci-dessous) et que si x!=A, alors on obtient que les deux sont forcément indépendants (voir post précédent)!

    - Tentative de démonstration Ax = AA = 0 n'implique pas que x=A (en espérant que je ne fais pas d'erreurs):

    Je prends un exemple, simple avec une matrice carrée 2*2 A = (a b; c d)!
    AA = 0, implique que A est nilpotente et que la somme des éléments de sa diagonale (la trace) est égale à 0: donc d = -a, ce qui nous donne A=(a b; c -a)! De même, son déterminant est nul, donc -a*a - cb = 0 d'où, cb = -a*a
    AA = (a b; c -a) (a b; c -a) = (aa+bc ab-ba; ca-ac bc+aa) = (aa+bc 0; 0 bc+aa) = (0 0; 0 0) d'où aa + bc =

    prenons une matrice x = (e f; g h), telle que Ax = 0, on a donc Ax = (a -aa/c; c -a)(e f; g h) = (ae-(aa/c)g af-(aa/c)h; ec-ag cf-ah)
    d'où:
    ae-(aa/c)g = 0
    af-(aa/c)h = 0
    ec-ag = 0
    cf-ah = 0

    Ce qui nous donne:
    e = ag/c
    f = ah/c

    Posons g = h = 1 (en exemple)! On obtient que e = f = a/c
    D'où x = (a/c a/c; 1 1), tandis que A = (a -aa/c; c -a).

    Ainsi, si on choisit a = 2 et c = 1 (encore en exemple), on obtient les matrices A = (2 -4; 1 -2) et x = (2 2; 1 1) et vous pouvez vérifier que AA = 0 et que Ax = 0!
    Les deux matrices n'ont pas forcément besoin d'être égaux pour que AA = 0 et Ax = 0! Et vous pouvez même voir qu'en fait, les A et x de cet exemple sont effectivement indépendants!

    J'avais vraiment du mal avec cet exercice, ne comprenant pas comment il fallait l'aborder et je pensais que quelque chose devait clocher! Mais au final, je ne pense pas qu'il y ait une erreur! Sauf si j'ai introduit un biais dans mon raisonnement!

    Désolé pour cette écriture pas très claire! J'espère quand même qu'on peut suivre le raisonnement sans trop de difficultés!

  13. #10
    ansset

    Re : Matrices/Vecteurs linéairement indépendants

    tu prends des exemples qui t'arrangent.
    suppose que X=kA , elles sont proportionnelles et vérifient les conditions imposées.
    ce qui veut dire qu'on ne prouve pas l'indépendance.
    ( si on peut parler d'indépendance matricielle en plus )

    de surcroit, je trouve que ça fait : "calculs bien lourdingues".
    et nommer une matrice x , je n'ai jamais vu celà.

    Enfin, d'où vient le titre de ton fil ?
    Je veux dire que cet exercice fait forcement suite à un cours.
    sur quoi portait il ?
    Dernière modification par ansset ; 02/10/2018 à 07h52.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  14. #11
    gg0

    Re : Matrices/Vecteurs linéairement indépendants

    Si rien n'est dit dans l'énoncé sur x, ce n'est pas un énoncé. Donc il n'y a rien à faire. Inutile de perdre du temps sur des écritures mathématiques sans signification.

  15. #12
    albanxiii

    Re : Matrices/Vecteurs linéairement indépendants

    Citation Envoyé par mahoumaru Voir le message
    - Tentative de démonstration Ax = AA = 0 n'implique pas que x=A (en espérant que je ne fais pas d'erreurs):
    Il n'y a pas besoin d'une très longue justification, il suffit de dire que l'anneau des matrices de taille nxn contient des diviseurs de zéro.
    Not only is it not right, it's not even wrong!

  16. #13
    mahoumaru

    Re : Matrices/Vecteurs linéairement indépendants

    Merci albanxii, j'avoue que je ne connaissais pas cette propriété!

    Ok, j'ai ce qu'il me faut! Merci pour vos réponses!

  17. #14
    minushabens

    Re : Matrices/Vecteurs linéairement indépendants

    Citation Envoyé par albanxiii Voir le message
    Il n'y a pas besoin d'une très longue justification, il suffit de dire que l'anneau des matrices de taille nxn contient des diviseurs de zéro.
    cet argument ne suffit pas. Dans l'anneau Z(4) on a 2*2=0 mais 2*x=0 implique x=0 ou x=2

  18. #15
    albanxiii

    Re : Matrices/Vecteurs linéairement indépendants

    Citation Envoyé par minushabens Voir le message
    cet argument ne suffit pas. Dans l'anneau Z(4) on a 2*2=0 mais 2*x=0 implique x=0 ou x=2
    En effet.
    J'avais surtout en tête de justifier qu'il n'y a pas unicité de la solution de Ax=AA=0 où x est l'inconnue.
    Not only is it not right, it's not even wrong!

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