théorème du gradient et de la divergence : calcul de l'intégrale d'un vecteur

[invite349e99ed]

Bonjour,
j'ai un exercice en 1ere année d'école d'ingénieur de génie civil sur les tenseurs et les théorème du gradient et de la divergence.Mes vecteurs sont en gras.

On considère un solide occupant un domaine Ω, dont la frontière est notée δΩ. En tout point x δΩ on note n(x) le vecteur orthogonal à la surface δΩ, orienté vers l'extérieur de Ω et de norme unité (nxn =1) appelé "normale unitaire". Cet exercice vise à appliquer les théorèmes du gradient et de la divergence.
1/ Quelles expressions simples donne le calcul de gradx et divx ?
2/On suppose qu'il existe un tensue constant d'ordre 2 Σ tel qu'en tout point x δΩ, la densité surfacique d'effort de contact exercée par l'extérieur sur le solide Ω est T(x)= Σ*n(x). Le vecteur T est appelé vecteur-contrainte. Que vaut alors la résultante R des actions de contact exercées par l'extérieur de Ω, définie par :
R={\displaystyle \textstyle \int }T(x)dS

J'ai pu répondre à la question 1 et pour la 2 je ne comprend pas parce que en utilisant le théorème de la divergence on a {\displaystyle \textstyle \int }divΣdV mais le divΣ c'est un vecteur car Σ est d'ordre 2 et que la divergence abaisse à l'ordre 1. Comment calculer l'intégrale d'un vecteur ???

Merci !
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[invite23cdddab]

Il me semble que dans ce contexte, on défini l'intégrale d'un champs de vecteurs comme le vecteur de l'intégrale de ses composantes :

Si , alors

[invite349e99ed]

J'ai aussi trouvé sur internet que si le champ vectoriel est constant (ici mon tenseur d'ordre 2 est constant) on peut dire que l'integrale de n*dS =0

Mais ici j'ai un champ de tenseur d'ordre 2 et pas un champ de vecteur, ducoup même avec la réponse que vous m'avez donné je ne sais pas si je peux l'appliquer pour les tenseurs d'ordre 2.
Si je calcule la divergence de Σ, j'ai un résultat qui est un vecteur selon x,y,z.
Peut etre que je dois partir du vecteur T sinon et utiliser la formule que vous m'avez donné.

[invite349e99ed]

Autant pour moi, j'avais mal compris la formule, je vais essayé avec ça alors !

[A voir en vidéo sur Futura]

[GrisBleu]

Hello
Voilà quelques indications
1/ Le théorème est
2/ Si je comprends
3/ Si sont les éléments de , si sont les vecteurs "lignes" et si e1,..,e3 sont les vecteurs de bases, on a
4/ Donc tu peux alors appliquer le théorème