Continuité par morceaux

[mehdi_128]

Pour en revenir à l'erreur d'écriture dans ta pièce jointe ( post #4)
Il est dit

La phrase est fausse car incomplète , même si la phrase précédente était, elle, juste.
Le fait est qu'il est certes "atteint" , mais pas par |f| seule, ce que laisse supposer la phrase , car ( et c'est bien écrit au dessus ), il faut y inclure tous les sup des fonctions |fi| ( prolongements de f sur chaque intervalle fermé )

Oui je suis d'accord, je pensais la même chose
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[mehdi_128]

demo alternative :
f est continue et strictement croissante sur ]0;1[

donc 0,5 est le plus petit Majorant de f.
et idem ( de manière réciproque ) en 0

J'ai compris votre autre démo mais pas celle là.

Je vois pas quel théorème vous utilisez ...

[ansset]

En fait c'est une manière simplifiée d'appliquer le propos d'avant.
et ici je ne m'intéresse ( pour l'exemple ) qu'au plus petit majorant de f.
f étant strictement croissante sur ]0;1[ le sup de f^{^} ( prolongement de f ) sur l'intervalle fermé [0;1] vaut naturellement la limite en 1 de f(x), soit 0,5
donc le fameux M recherché est le Max ( sup(f^{^}(x), f(0),f(1)) (*) , donc ici 0,5

(*) j'avais oublié de citer f(0) qui en théorie aurait pu être défini supérieur.

[mehdi_128]

D'accord merci on peut calculer la borne supérieure en prolongeant le fonction par continuité intéressant.

[ansset]

attention, ici, cela fonctionne car la fonction est strict monotone.
donc les extremas sont forcement aux bords de l'intervalle.
et il faut s'assurer que ceux ci "dominent" les valeurs aux points de discontinuité.

[ansset]

En fait pour les majorations et minoration , il est raisonnable de repartir de la def de base sur les Min, Max , puis de voir si la formule est simplifiable en fct de la fonction étudiée.