question distance.

[maatty]

Bonsoir à tous
j'ai quelques difficultés concernant un exercice. On considère l'ensemble U des nombres complexes de module 1 et on définit sur U^2 l'application d définie par: d(u,v)=Arcos(Re(u.vbarre)) (comprendre arcosinus de la partie réelle du produit de u et du conjugué de v). On veut montrer que c'est une distance.
J'ai démontrer que d(u,v)=0 <=> u=v ainsi que la symétrie mais j'ai du mal a voir comment montrer l'inégalité triangulaire. Je vois bien que d(u,v) correspond à la longueur de l'arc de cercle joignant les points d'affixes u et v mais je ne vois pas comment démontrer le troisième point (inégalité triangulaire) par le calcul.
Si quelqu'un a une piste, elle serait la bienvenue

Merci
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[invite51d17075]

Ben, il me semble que si , alors

donc pas de soucis pour les propriétés si ?

[jacknicklaus]

Ben, il me semble que si , alors

donc pas de soucis pour les propriétés si ?

pas exactement. (prendre les angles 100 pi et 0)

plutôt c'est à dire distance entre l'argument et le multiple entier de 2pi le plus proche. C'est l'autre façon de définir la fonction Arccos(cos(x)), et c'est donc bien une distance !

[invite51d17075]

pas compris, vu le domaine de def des fonction cos et arccos !

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite51d17075]

dit autrement : soit

[maatty]

Bonjour, je vous remercie pour ces précisions mais j'ai encore une question;
d'où sort la valeur absolue? ( j'était arrivé à d(u,v)=TetaU-tetaV (sans valeur absolue)

[jacknicklaus]

pas compris, vu le domaine de def des fonction cos et arccos !

je me suis mal exprimé, et j'ai réagi sur le contenu du seul message #2.
le contre-exemple étant thetaU = 100 pi, thetaV = 0, mais la distance d(u,v) n'est naturellement pas égale à 100 pi.

c'est du pinaillage compte tenu du contexte de l'exercice (message #1) que je avais lu un peu vite...

[invite51d17075]

Bonjour, je vous remercie pour ces précisions mais j'ai encore une question;
d'où sort la valeur absolue? ( j'était arrivé à d(u,v)=TetaU-tetaV (sans valeur absolue)

c'est bien la valeur absolue.
d'une part parce que ( dans la construction ) cos(a)=cos(-a)
d'autre part, il est clair à postériori que sans la valeur absolue, il n'y a pas de symétrie !

[maatty]

Merci à tous ceux qui m'ont apporté une réponse mais je m'interroge toujours.

J'ai pu montrer la symétrie car effectivement . Aussi, je ne vois pas à ce stade "l'utilité "de la valeur absolue. Je comprends évidemment bien qu'avec une valeur absolue, cela clarifie complètement le dernier point et l'interprétation en terme de distance. Or je perçois (peut-être à tort et veuillez m'excuser dans ce cas) dans les réponses que l'on met la valeur absolue parce que ça arrange mieux les choses (encore une fois je m'excuse si j'ai compris vos propos de travers). Je re-précise ma question; il semble entendu que d(u,v)= et je voudrais savoir à quel moment apparaît cette valeur absolue; a-t-on : arcos(cos(x))= ?

Je vous remercie.

[jacknicklaus]

a-t-on : arcos(cos(x))= ?

Sans plus de précision, certainement pas. Pour une raison évidente, cette fonction est définie sur R, et est 2pi périodique.

par contre, sur un intervalle judicieux, ..., je te laisse chercher !

[maatty]

Merci!! je viens de comprendre!!