Série de Fourier, petit problème de calcul

[blisax]

Bonjour,

Ma question repose sur les étapes d'un calcul de mon cours que j'ai du mal à retrouver. Le professeur part de la formule suivante:



Dans cette formule, L, K et F sont des constantes. L est un analogue de la période T. On ne peut pas vraiment calculer l'intégrale car la fonction A(s) n'est pas explicité.
Dans le cours, le prof exprime A(s) sous la forme d'une série de Fourier:



La formule est justifié dans le cours, cela ne me pose pas de problème. Mais ensuite le professeur arrive a cette étape là:



Je ne comprend pas comment on abouti a cette dernière formule à partir de la série de Fourier. Ce que j'ai compris:
-Exprimer A(s) en série de Fourier est malin car ensuite on a une dépendance en n et on peut calculer très facilement l'intégrale
-Je devine qu'on doit utiliser l'égalité de Parseval, ce qui est assez astucieux.

Le second terme me pose pas trop de problème, c'est plus pour le terme dérivé que j'ai du mal à retrouver les étapes de calcul. Si quelqu'un avait la gentilesse de me détailler le calcul ou m'expliquer un peu plus en détail la résolution, ce serait super ! Merci d'avance
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[gg0]

Bonjour.

Le mieux est que tu le fasses toi-même. A la lecture de ton message, je ne sais pas trop ce que tu as vu, donc à toi de faire :
1) Quelle est la série de Fourier de ?
2) En supposant que A(s) est une fonction réelle, donc que A(s)²=|A(s)|², décomposer l'intégrale pour faire apparaître le premier membre de l'égalité de Parseval (pas l'inégalité) de deux fonctions.
3) Appliquer .

Présente tes calculs si tu as un doute.

Cordialement.

NB : Dans les formules LaTeX, il est préférable d'écrire n\pi qui donne que pi n qui donne pin.

[blisax]

Merci beaucoup pour ta réponse !

Pour la dérivé, je fais comme ça:



Et là je suis un peu bloqué car j'aimerais utiliser l'identité de Parseval:


Je suis un peu embêté car toute la somme est au carré, je ne sais donc pas comment séparer le (i 2 pi n)/L du reste de la somme qui est censé effectivement me redonner A(s) (que je pourrais remplacer par la somme des coefficients par l'égalité de Parseval). Tu peux m'aider sur cette étape ? Je me trompe dans la dérivé ?

[gg0]

Attention, l'égalité de Parseval n'est pas ce que tu dis, mais

Où la norme au carré du deuxième membre est l'intégrale du carré du module de A(s) (revois les cours).

Pour la suite, je t'ai dit quoi faire. C'est du calcul quand même très courant, de décomposer une intégrale de somme en somme d'intégrale, non ??

Et on voit apparaître les normes au carré de A et de sa dérivée.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[blisax]

Oups effectivement il y a une erreur dans mon égalité, merci pour la correction.

Ok donc si je comprends bien et que je m’intéresse au premier membre (je n'ai pas de difficulté pour le second), j'ai:




Et là je bloque un peu, je ne sais pas comment traiter le module carré d'une somme pour faire apparaitre l'expression de mon premier message. Je veux bien croire que c'est du calcul très courant mais pas très intuitif pour les non matheux

[gg0]

Non, tu n'appliques pas l'égalité de Parseval.

Tu devrais commencer par voir ça dans un cours sur les séries de Fourier.

[blisax]

Ne peux tu pas me donner l'étape de calcul qui me manque pour avoir un exemple didactique et répondre aussi à ma question initiale ?

[gg0]

L'étape qui te manque est l'égalité de Parseval :


Mais je suis surpris, c'est toi qui as parlé de Parseval.

NB : je ne vois pas d'où sort le L qui est en facteur.

[blisax]

Oui oui je me doute que c'est cette égalité qu'il faut utiliser, mais dans ce cadre précis j'ai un peu de mal. Mais je crois avoir saisi la voie sur laquelle tu essayes de me mettre. Est-ce correct:

On a d'une part:

Avec:


Ensuite je m'occupe du premier membre (mais cette fois en utilisant correctement l'égalité de Parseval, enfin j'espère):


Tout cela est bien correct ?

[gg0]

Attention à ce que tu écris, il n'y a pas de , mais des

[blisax]

Oui exact, je suis aller un peu vite. Mais sinon c'est bien ça l'idée ?

[gg0]

Je pense, mais elle ne mène pas à ce que tu annonçais.

[blisax]

Oui effectivement il manque le L... Peut être une erreur...
En tout cas merci beaucoup pour le coup de main, j'ai compris le "gros" du raisonnement !