espace vectoriel topologique

[invitedb052e48]

svp comment montrer que la topologie grossière est compatible avec la structure d'espace vectoriel
merci d'avance
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[gg0]

Bonjour.

En décodant ce que dit ta phrase :
"topologie grossière" qu'est-ce ?
"compatible" Qu'est-ce que ça veut dire ?
"structure d'espace vectoriel" Qu'est-ce ?
Finalement de quoi parle-t-on ?

Donc par exemple tu vas considérer un espace vectoriel (E,+,.) et le munir de la topologie grossière. Puis que dois-tu faire pour prouver qu'elle est compatible avec + et . (qui définissent que c'est un espace vectoriel) ?

Cordialement.

NB : Ce que je viens de faire, tu pouvais le faire seul, analyser ton énoncé n'est-ce pas ton travail ? Et éventuellement, si tu bloques dans la preuve, venir poser une question bien plus pertinente.
NBB : "Que veut dire compatible" n'est pas une question pertinente, c'est aussi ton travail de trouver dans tes cours ce que veut dire ce mot.

[invitedb052e48]

D'abord je vous remercie
la topologie grossière associée à E est la topologie sur E dont les seuls ouverts sont l'ensemble vide et X
ce que je dois montrer c'est (x,y)-->x+y et (a,x)-->ax sont continues mais étant donné que je n'ai pas de norme.. je me suis coincé


Cordialement.

[pm42]

ce que je dois montrer c'est (x,y)-->x+y et (a,x)-->ax sont continues mais étant donné que je n'ai pas de norme.. je me suis coincé

Tu n'as pas besoin d'une norme pour la continuité (le lien a sauté mais si tu fais une recherche sur "Continuité topologie", tu trouveras la définition ne serait ce que sur Wikipedia).

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite9dc7b526]

Une application entres espaces topologiques E et F est continue ssi l'image réciproque de tout ouvert de F est un ouvert de E. Pour la continuité de la somme il te faut donc commencer par déterminer quelle est la topologie produit sur ExE (quels en sont les ouverts, car ce n'est pas la topologie grossière) et puis pour chaque ouvert de E (il n'y en a que deux) vérifier que son image réciproque par l'application somme est bien un ouvert de la topologie produit sur ExE, ce qui du reste est trivial. Pour la multiplication externe il faut suivre un chemin analogue.

[invitedb052e48]

Merci beaucoup c'est exactement ou je me suis bloqué ( la reciproque de E par l'addition est un ouvert) mais c bien pour le moment

j'ai une autre question c'est comment montrer que la topologie discrète sur un K-ev different de 0 n'est jamais compatible avec la structure d'une espace vectoriel E
j'essaie de faire la même chose mais je n'arrive pas

cordialement

[invite23cdddab]

Normal, c'est faux, puisque toutes les applications sont continues pour la topologie discrète (vu que tout les ensembles sont des ouverts)

[invitedb052e48]

voulez vous dire que l'énoncé est fausse? je crois nn, j'ai déjà vu cette propriété dans de nombreux endroits

[invite23cdddab]

Ah ! Je pense voir ou se situe ma possible erreur : On a la topologie discrète sur ton espace vectoriel E, mais pas sur le corps K.

[invitedb052e48]

oui on a la topologie discrète sur le k-ev E qui'est différent de 0

[invite23cdddab]

Non, tu n'as pas compris ma remarque : Tu as la topologie discrète sur le K-ev E, mais pas sur K. Et la topologie de K est importante pour la multiplication (l'espace de départ est , muni de la topologie produit)

Du coup, on peut regarder l'image réciproque d'un singleton pour la multiplication

[invitedb052e48]

je pose f(λ; x) --> λx
f −1({y}) = {(λ, y\λ) avec λ appartient à K} cet ensemble est un ouvert alors ça ne me donne rien ou je me trompe?

[gg0]

Bonjour Wildo.

Tu dis que c'est un ouvert. Peux-tu le justifier en précisant la topologie qui est sur ?

Cordialement.

[invite23cdddab]

cet ensemble est un ouvert

Vraiment? Prouve le.

Edit : grillé par gg0

[invitedb052e48]

J'avais tort l'ensemble en-dessus est un fermé (=K*x{y})
Merci ls gars et je n'ai pas raison je vous en prie de me signaler

[invitedb052e48]

*et si je n'ai..

[gg0]

Heu ... le fait que ce soit un fermé n'interdit pas que ce soit un ouvert (dans la topologie discrète, toute partie est à la fois ouverte et fermée). Quelle topologie sur ?

NB : Si tu esquives les questions faites pour t'aider, tu ne feras que des réponses automatiques non raisonnées.

[invitedb052e48]

hah non je n'esquive pas hah
K est muni de la topologie usuel ( c'est R ou C) et KxE muni de la topologie produit

J'apprécie vraiment votre aide et vraiment merci gg0
alors je pense ma réponse est correcte, non?

[gg0]

"muni de la topologie produit " C'est à dire ?
Non, ta réponse n'est pas correcte, on s'en fout que ce soit un fermé, la question est "est-ce que c'est toujours un ouvert, oui ou non ?"

[invitedb052e48]

c-à-d la topologie engendrée par les produit AxB avec A appartient à TK ( topologie de K) et B appartient à Te ( discrète)

oui t'as raison ma réponse est incorrect alors que je dois faire?

[gg0]

Déjà examiner comment est faite la topologie de sans te cacher derrière "topologie produit". Il te faut mettre les mains dans le cambouis : Comment sont ses ouverts, ses voisinages, .. C'est ce que je te demande depuis le début. Au besoin, révise tes cours de topologie (un minimum quand on veut parler d'espaces vectoriels topologiques. Après, tu pourras te poser la question "f −1({y}) = {(λ, y\λ)} est-il un ouvert ?".

[invitedb052e48]

ça fait une année sans pratique et j'ai mes raison c'est pour ca j'ai besoin d'aide
U est un ouvert de KxE si pour chaque (x,y) element de U il existe un ouvert V de K contient x et un ouvert W de E contient y
les ouverts de K sont les ouverts usuels et pour E chaque partie est à la fois ouvert et fermée

toujours cela ne me mène nulle part

Cordialement

[gg0]

Rappels :
Pour une topologie produit, il est plus simple de parler de base des ouverts (dans R, une base des ouverts est constituée d'intervalles ouverts, tout voisinage de x contient un intervalle ouvert contenant x). Dans ton cas, on voit qu'on peut prendre comme base des ouverts de les produits où est un intervalle ouvert de R ou un disque ouvert de C, et x un élément de E. Tout y d'un ouvert de est un élément d'un .

A toi de jouer.

NB : C'est ton exercice, c'est à toi de retravailler ce que tu as oublié mais es censé connaître. Moi, je n'ai pas besoin de faire l'exercice, et je sais faire. mais la règle du forum est claire : On aide (https://forums.futura-sciences.com/m...ces-forum.html).